华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第八章（8.1.4）二元函数

例3设(xy)=sinx,证明f(x,y)是R2上的连续函数 证设P(x0,y)∈R2.VE>0,由于sinx在x处连续,故彐>0 当x-xko时,有 sin x-sin xok E 以上述作P的域UPD,则当P(x,y)∈(P,时,显然 f(x, y)-(o, yoFsin x-sin xok8, 即x,y)=sinx在点Pxo,y)连续 由P0的任意性知,sinx作为x,y的二元函数在R2上连续 上页 下页

上页 返回 下页 当|x−x0 |时 有 |sin x−sin x0 | 以上述作P0的邻域U(P0  ) 则当P(x y)U(P0  )时 显然 |f(x y)−f(x0  y0 )|=|sin x−sin x0 | 即f(x y)=sin x在点P0 (x0  y0 ) 连续 由P0的任意性知 sin x作为x y的二元函数在R2上连续 例3 设f(x,y)=sin x 证明f(x y)是R2上的连续函数 证 设P0 (x0  y0 )R2  0 由于sin x在x0处连续 故0