华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第八章（8.7）方向导数与梯度

§8.7方向导数与梯度 、方向导数 二、梯度 自

一、方向导数 二、梯度 §8.7 方向导数与梯度 首页 上页 返回 下页 结束 铃

、方向导数 设函数=(x,y)在点Px0y)的某一邻域U(P)内有定义, 是xOy平面上以P(x0,y0为始点的一条射线,与l同方向的单 位向量为er=(cosa,cos) 今方向导数 取P(x0+osax,y+1os月)∈U(P,如果极限 f(o+cosa, yo+tcos p)-f(o yo)y 提示: 即极限mnf(P)-f(6 PPl0* PP 自贝贝返回 页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、方向导数 下页 设函数z=f(x, y)在点P0 (x0 , y0 )的某一邻域U(P0 )内有定义, l是xOy平面上以P0 (x0 , y0 )为始点的一条射线, 与l同方向的单 位向量为el=(cos, cos) t f x t y t f x y t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − → +   提示 | | ( ) ( ) lim 0 0 | | 0 0 PP f P f P PP − → + 即极限  取P(x0+tcos, y0+tcos)U(P0 ), 如果极限 ❖方向导数

、方向导数 设函数=(x,y)在点Px0y)的某一邻域U(P)内有定义, 是xOy平面上以P(x0,y0为始点的一条射线,与l同方向的单 位向量为er=(cosa,cos) 今方向导数 取P(x0+osax,y+1os月)∈U(P,如果极限 f(o+cosa, yo+tcos p)-f(o yo)y t-)0+ 存在,则称此极限为函数fx,y)在点P沿方 向)的方向导数,记为 上页 返回 页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、方向导数 下页 设函数z=f(x, y)在点P0 (x0 , y0 )的某一邻域U(P0 )内有定义, l是xOy平面上以P0 (x0 , y0 )为始点的一条射线, 与l同方向的单 位向量为el=(cos, cos) 存在, 则称此极限为函数f(x, y)在点P0沿方 向l的方向导数, 记为 ( , ) 0 0 l x y f    t f x t y t f x y t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − → +   取P(x0+tcos, y0+tcos)U(P0 ), 如果极限 ❖方向导数

、方向导数 设函数=(x,y)在点Px0y)的某一邻域U(P)内有定义, 是xOy平面上以P(x0,y0为始点的一条射线,与l同方向的单 位向量为er=(cosa,cos) 今方向导数 -lim f(o+cosa, yo +tcos B )-f(xo, yo) Ol(o,yo)1-0 y 方向导数就是函数fx,y)在点Px,y0) 处沿方向的变化率 首页上页返回 页结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、方向导数 下页 设函数z=f(x, y)在点P0 (x0 , y0 )的某一邻域U(P0 )内有定义, l是xOy平面上以P0 (x0 , y0 )为始点的一条射线, 与l同方向的单 位向量为el=(cos, cos) ( , ) 0 0 l x y f   t f x t y t f x y t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − = → +    ❖方向导数 方向导数就是函数f(x, y)在点P0 (x0 , y0 ) 处沿方向l的变化率

、方向导数 设函数=(x,y)在点Px0y)的某一邻域U(P)内有定义, 是xOy平面上以P(x0,y0为始点的一条射线,与l同方向的单 位向量为er=(cosa,cos) 今方向导数 ()=团m f(o+cosa, yo +tcos B )-f(xo, yo) 令定理(方向导数的计算) 如果函数=fx,y)在点P(xo,y)可微分,那么函数在该点 沿任一方向l(e=(cosa,cos)的方向导数都存在,且有 f(xo, yo)cosa+f,(xo, yo)cosB.>>> 首页上页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、方向导数 设函数z=f(x, y)在点P0 (x0 , y0 )的某一邻域U(P0 )内有定义, l是xOy平面上以P0 (x0 , y0 )为始点的一条射线, 与l同方向的单 位向量为el=(cos, cos) ( , ) 0 0 l x y f   t f x t y t f x y t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − = → +    ❖方向导数 如果函数z=f(x, y)在点P0 (x0 , y0 )可微分, 那么函数在该点 沿任一方向l (el=(cos, cos))的方向导数都存在, 且有 ❖定理(方向导数的计算) ( 0 , 0 )cos ( 0 , 0 )cos ( , ) 0 0 f x y f x y l f x y x y = +    下页 >>>

函数f(x,y)在点P0沿方向/(e=(cosa,cos)的方向导数: af f(xo, yo)cosa+f,(xo, yo)cos B (xo, yo) 讨论: 函数f(x,y)在点P沿x轴正向和负向,沿y轴正向和负向的 方向导数如何? 提示 沿x轴正向时,cosa1,cos0,9=y 沿x轴负向时,cosa=-1,cos/=0, 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 沿 x 轴负向时, cos=−1, cos=0, x f l f   =−    讨论 函数f(x, y)在点P沿x轴正向和负向, 沿y轴正向和负向的 方向导数如何? 提示 下页 函数f(x, y)在点P0沿方向l (el=(cos, cos))的方向导数 ( 0 , 0 )cos ( 0 , 0 )cos ( , ) 0 0 f x y f x y l f x y x y = +    沿 x 轴正向时, cos=, cos=0, x f l f   =   

函数f(x,y)在点P0沿方向/(e=(cosa,cos)的方向导数: af f(xo, yo)cosa+f,(o, yo)cos B (xo, yo) 例1求函数=xe2在点P1,0)处沿从点P到点Q(2,-1)的方 向的方向导数 解PQ=(,-1),与1同向的单位向量为1-1) 因为函数可微分,且 e 2 we Ox(10) ay1(10 所以所求方向导数为 1.+2 al(0√2 2 页上页 返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 求函数z=xe2y在点P(1, 0)处沿从点P到点Q(2, −1)的方 向的方向导数 解 所以所求方向导数为 下页 函数f(x, y)在点P0沿方向l (el=(cos, cos))的方向导数 ( 0 , 0 )cos ( 0 , 0 )cos ( , ) 0 0 f x y f x y l f x y x y = +    解 → PQ=(1, −1), 与 l 同向的单位向量为 ) 2 1 , 2 1 el =( −  因为函数可微分, 且 1 (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z , 2 2 (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z , 2 2 ) 2 1 2 ( 2 1 1 (1,0) =  +  − =−   l z  解 → PQ=(1, −1), 与 l 同向的单位向量为 ) 2 1 , 2 1 el =( −  1 (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z , 2 2 (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z 1 , (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z , 2 2 (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z 1 , (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z , 2 2 (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z 1 , (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z , 2 2 (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z 1 , (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z , 2 2 (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z , 2 2 ) 2 1 2 ( 2 1 1 (1,0) =  +  − =−   l z  2 2 ) 2 1 2 ( 2 1 1 (1,0) =  +  − =−   l z 

函数f(x,y)在点P0沿方向/(e=(cosa,cos)的方向导数: af f(xo, yo)cosa+f,(o, yo)cos B (xo, yo) 对于三元函数x,y,)来说,它在空间一点Px0,y,=0)沿 e=(c0s,cosB,cosm)的方向导数为 lim f(o+cosa, yo +tcos B, 0+tcosn-f(=o: Jos-0 71(n,2030 如果函数(x,y,z)在点(xo,yo,=0)可微分,则函数在该点沿 着方向e=(cosa,cos月,cosm)的方向导数为 a/(x20) f(ro, yo, -o)cosa+f (o, yo, =o)cosB+f(o, yo, -o)cosy 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 对于三元函数f(x, y, z)来说, 它在空间一点P0 (x0 , y0 , z0 )沿 el=(cos , cos , cos)的方向导数为 函数f(x, y)在点P0沿方向l (el=(cos, cos))的方向导数 ( 0 , 0 )cos ( 0 , 0 )cos ( , ) 0 0 f x y f x y l f x y x y = +    如果函数f(x, y, z)在点(x0 , y0 , z0 )可微分, 则函数在该点沿 着方向el=(cos , cos , cos)的方向导数为  ( , , ) 0 0 0 l x y z f   t f x t y t z t f x y z t ( cos , cos , cos ) ( , , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 + + + − = → +     ( , , ) 0 0 0 l x y z f   ( , , )cos ( , , )cos ( , , )cos 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f x y z f x y z f x y z = x + y + z 

例2求(x,y,=)=xy+y2+x在点(1,1,2)沿方向的方向导数, 其中的方向角分别为60°,45°,60° 解与l同向的单位向量为 e1=(cos60°c0s45°c0s609) 因为函数可微分,且 x(1,1,2)=(U+z),1,2-3 f(1,1 2)=(x+2)(1 1,2 f(1,1,2=(y+x),1,2 所以 3.+3.2+2 (5+32) (1,12) 2 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例2 求f(x, y, z)=xy+yz+zx在点(1, 1, 2)沿方向l的方向导数, 其中l的方向角分别为60, 45, 60 解 与l同向的单位向量为 ) 2 1 , 2 2 , 2 1 =(cos60 ,cos45 ,cos60)=( l e  因为函数可微分, 且 所以 (5 3 2) 2 1 2 1 2 2 2 3 2 1 3 (1,1,2) =  +  +  = +   l f (5 3 2)  2 1 2 1 2 2 2 3 2 1 3 (1,1,2) =  +  +  = +   l f (5 3 2)  2 1 2 1 2 2 2 3 2 1 3 (1,1,2) =  +  +  = +   l f  f x (1, 1, 2)=(y+z)| (1, 1, 2)=3, f y (1, 1, 2)=(x+z)| (1, 1, 2)=3, f z (1, 1, 2)=(y+x)| (1, 1, 2)=2, 首页

梯度 ◆梯度的定义 设函数z=-f(x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点PQ(x2y)∈D,都可确定一个向量 f(ro, yo)i+,(xo, yo)j 这向量称为函数f(x,y)在点Pxo,y)的梯度,记作grad(xo,y) gradfxo, yoco, yo)i+,(o, yo)j 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二、梯度 ❖梯度的定义 下页 设函数z=f(x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P0 (x0 , y0 )D, 都可确定一个向量 f x (x0 , y0 )i+f y (x0 , y0 )j, 这向量称为函数f(x, y)在点P0 (x0 , y0 )的梯度, 记作gradf(x0 , y0 ), 即 gradf(x0 , y0 )=f x (x0 , y0 )i+f y (x0 , y0 )j