华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第八章（8.4.1）连续偏导数

如果函数=0()及=v(1)都在点可导,函数z=f(,y)在 对应点具有连续偏导数,则 dz a ax az dv dt au dt ay dt 简要证明 当取得增量Δ埘,v、ν及z相应地也取得增量Δu、Δ 及△.由函数=={u,)、u=(1)及v=v()的可微性,得 Az=A+△v+O(p) ou cc△+M=,M+o(An)+) oy dt g.c+.如M+(+g)(AD)+(p), u a 上页 返回

上页 返回 下页 当t取得增量t时, u、v及z相应地也取得增量u、v 及z . 由函数z=f(u, v)、u=j(t)及v=y(t)的可微性, 得 如果函数u=j(t)及v=y(t)都在点t可导, 函数z=f(u, v)在 对应点具有连续偏导数, 则 dt dv v z dt du u z dt dz     +   = . 简要证明 [ ( )] [ t o( t)] o() dt dv v z t o t dt du u z  +  +    +  +   = ( ) ( )o( t) o() v z u z t dt dv v z dt du u z  +   +     +    +   = , v o() v z u u z z  +    +    = 下页

如果函数=0()及=v(1)都在点可导,函数z=f(,y)在 对应点具有连续偏导数,则 dz az du az dv dt au dt ay dt 简要证明 A=(.+.如+(+ au a )o(△)+0(p) u a △z ad0.c01z、0(△t)0(P) △ t au dt ay dt"aua△t'△t 令Δt>0,上式两边取极限,即得 dz az du az dv dt au dt ay dt 上页 下页

上页 返回 下页 如果函数u=j(t)及v=y(t)都在点t可导, 函数z=f(u, v)在 对应点具有连续偏导数, 则 dt dv v z dt du u z dt dz     +   = . ( ) ( )o( t) o() v z u z t dt dv v z dt du u z  +   +     +    +   = , t o t o t v z u z dt dv v z dt du u z t z  +     +    +    +   =   ( ) ( ) ( )  , 令t→0, 上式两边取极限, 即得 dt dv v z dt du u z dt dz     +   = . v o() v z u u z z  +    +    = 简要证明 返回