华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第八章（8.3）全微分及其应用

§83全微分及其应用 全微分的定义 二*全微分在近似计算中的应用 自

一、全微分的定义 二*、全微分在近似计算中的应用 §8.3 全微分及其应用 首页 上页 返回 下页 结束 铃

一、全微分的定义 ◆偏增量与偏微分 根据一元函数微分学中增量与微分的关系,有 fx+Ax,y)f(x,y)≈/f(x,y)△x, f(x, y+Ay)f(x, y)f(x, y)Ay, fx+△x,y)-fx,y)—函数x,y)对x的偏增量 f(x,+△y)f(x,y)-—函数(x,y)对y的偏增量 f(x,y)△x 函数f(x,y)对x的偏微分 fiG, yA 函数f(x,y)对y的偏微分 今全增量 △2f(x+△x,y△y)-f(x,y) 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、全微分的定义 ————函数f(x, y)对x的偏微分 ——函数f(x, y)对y的偏增量 ————函数f(x, y)对y的偏微分 ❖全增量 z=f(x+x, y+y)−f(x, y). ❖偏增量与偏微分 f(x+x, y)−f(x, y)f x (x, y)x, f(x, y+y)−f(x, y)f y (x, y)y, ——函数f(x, y)对x的偏增量 下页 根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 f(x+x, y)−f(x, y) f(x, y+y)−f(x, y) f x (x, y)x f y (x, y)y

今全微分的定义 如果函数z(x,y)在点(x,y)的全增量 △z=fx+△x,y△y)-f(x,y) 可表示为 △z=A△x+BAy+O()(P =√(△x2+(△y)2), 其中A、B不依赖于Ax、4而仅与x、y有关,则称函数z(x,y) 在点(x,y)可微分,而A△x+BAy称为函数z=(x,y)在点(x,y)的全 微分,记作dz,即 dz=A△x+B△y 如果函数在区域D内各点处都可微分,那么称这函数在D 内可微分 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖全微分的定义 其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关, 则称函数z=f(x, y) 在点(x, y)可微分, 而Ax+By称为函数z=f(x, y)在点(x, y)的全 微分, 记作dz,即 dz=Ax+By. 如果函数在区域D内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 下页 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)的全增量 z=f(x+x, y+y)−f(x, y) 可表示为 ( ) ( ( ) ( ) ) 2 2 z = Ax+By+o   = x + y

◆可微分与连续 偏导数存在不一定连续,但可微分必连续. 这是因为,如果z=f(x,y)在点(x,y)可微,则 2=f(x+△x,y△y)-f(x,y)=A△x+B△y+o(m 于是im△z=0, 0 从而 (x(x+Ax,y+△y)=m(xy)+△-]=f(xy) 因此函数=1(x,y)在点(x,1)处连0 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖可微分与连续 偏导数存在不一定连续,但可微分必连续. 这是因为, 如果z=f(x, y)在点(x, y)可微, 则 z=f(x+x, y+y)−f(x, y) =Ax+By+o(), 因此函数z=f(x, y)在点(x, y)处连续. 下页 lim 0 0  = → z  于是 , lim ( , ) lim [ ( , ) ] ( , ) ( , ) (0,0) 0 f x x y y f x y z f x y x y + + = + =   → → 从而 lim ( , ) lim [ ( , ) ] ( , ) . ( , ) (0,0) 0 f x x y y f x y z f x y x y + + = + =   → → lim ( , ) lim [ ( , ) ] ( , ) . ( , ) (0,0) 0 f x x y y f x y z f x y x y + + = + =   → →

◆可微分与连续 偏导数存在不一定连续,但可微分必连续. 今可微分的必要条件 如果函数z=(x,y)在点(x,y)可微分,则函数在该点的偏导 数、必定存在,且函数=(x,y)在点(x,y)的全微分为 d=c2△x+c△y.> ☆应注意的问题 偏导数存在是可微分的必要条件,但不是充分条件> 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖可微分的必要条件 >>> ❖应注意的问题 >>> 下页 ❖可微分与连续 偏导数存在不一定连续,但可微分必连续. 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该点的偏导 数 x z   、 y z   必定存在, 且函数 z=f(x, y)在点(x, y)的全微分为 y y z x x z dz     +   = . 偏导数存在是可微分的必要条件,但不是充分条件

◆可微分与连续 偏导数存在不一定连续,但可微分必连续. 今可微分的必要条件 如果函数z=(x,y)在点(x,y)可微分,则函数在该点的偏导 数、必定存在,且函数=(x,y)在点(x,y)的全微分为 dz △x+△ 今可微分的充分条件 如果函数=(x,y)的偏导数、在点(x,y)连续, OX 则函数在该点可微分 以上结论可推广到三元及三元以上函数 首页上页返回 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖可微分的充分条件 以上结论可推广到三元及三元以上函数. 下页 ❖可微分的必要条件 ❖可微分与连续 偏导数存在不一定连续,但可微分必连续. 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该点的偏导 数 x z   、 y z   必定存在, 且函数 z=f(x, y)在点(x, y)的全微分为 y y z x x z dz     +   = . 则函数在该点可微分. 如果函数 z=f(x, y)的偏导数 x z   、 y z   在点(x, y)连续

◆叠加原理 按着习惯,Δx、Δ分别记作x、d,并分别称为自变量的 微分,这样函数==f(x,y)的全微分可写作 dz=sdx+=dl 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为 二元函数的微分符合叠加原理 叠加原理也适用于二元以上的函数,例如v=f(x,y,z)的全 微分为 au dx+ dy+ dz OX 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖叠加原理 按着习惯, x、y分别记作dx、dy, 并分别称为自变量的 微分, 这样函数z=f(x, y)的全微分可写作 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为 二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如u=f(x, y, z)的全 微分为 下页 dy y z dx x z dz   +   = . dz z u dy y u dx x u du   +   +   =

设=(x,y),则d=x+d 例1计算函数z=xy+y2的全微分 解因为z a,-2+21 所以 dz=2xydx+(x2+2y)dy 例2计算函数z=e在点(2,1)处的全微分 解因为z ar vet -=xe az x=2=e 2 2e Xlv= 所以 dz=edx+2e2dy 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 例1 计算函数z=x 2y+y 2的全微分. 解 所以 例2 计算函数z=e xy在点(2, 1)处的全微分. 解 所以 dz=2xydx+(x 2+2y)dy. dz=e 2dx+2e 2dy. 下页 设 z=f(x, y), 则 dy y z dx x z dz   +   = . 解 因为 xy x z =2   , x y y z 2 2 = +   解 因为 xy , x z =2   , x y y z 2 2 = +   因为 , 因为 xy ye x z =   , xy xe y z =   , xy ye x z =   , xy xe y z =   , 2 1 2 e x z y x =   = = , 2 1 2 2e y z y x =   = = , 2 1 2 e x z y x =   = = , 2 1 2 2e y z y x =   = =

设v=f(x,y功则如以的a Ox 例3计算函数u=x+si2+e的全微分 解因为O=1.2=1cos 所以 du=dx+(cos 2+ze 2)dy+ yel-dz 自 返回 下页 结束

首页 上页 返回 下页 结束 铃 解 设 u=f (x, y, z), 则 dz z u dy y u dx x u du   +   +   = . 例 例 3 3 计算函数 yz e y u = x+ + 2 sin 的全微分. 因为 =1   x u , yz ze y y u = +   2 cos 2 1 , yz ye z u =   因为 因为 =1 ,   x u , yz ze y y u = +   2 cos 2 1 , yz ye z u =   因为 =1 ,   x u , yz ze y y u = +   2 cos 2 1 , yz ye z u =   , 所以 ze dy ye dz y du dx yz yz = + + ) + 2 cos 2 1 所以 (

二*全微分在近似计算中的应用 当函数元(x,y)在点(x,y)的两个偏导数f(x,y,fx,y连续, 并且Axy都较小时,有近似等式 △≈dz=fx(x,y)△x+(x,y)y fx+Ax,yAy)≈fx,y)+(x,y)Ax+f(x,y)△y 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算 首页上页返回 页结束铃

首页 上页 返回 下页 结束 铃 二*、全微分在近似计算中的应用 当函数z=f(x, y)在点(x, y)的两个偏导数f x (x, y), f y (x, y)连续, 并且|x|, |y|都较小时, 有近似等式 zdz=f x (x, y)x+f y (x, y)y , 即 f(x+x, y+y)f(x, y)+f x (x, y)x+f y (x, y)y . 我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算. 下页