华中师范大学：《数学分析》课程PPT教学课件（讲稿）第八章（8.3.1）偏导 数

如果函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分,则函数在该点的偏导 数、必定存在,且函数=x,y)在点(x,y)的全微分为 d=Ax+△y 简要证明设函数=(x,y)在点(x,y)可微分于是有 1=f(x+Ax,y+△y)-f(x,y)=A△x+B△y+o(m, 特别当=0时,有 fx+△x,y)-fx,y)=A△x+o(x), f(x+△x,y)-f(x,y) ]=A →>0 △x △ 从而存在,且=A.同理存在,且=B 上页 下页

上页 返回 下页 简要证明 特别当y=0时, 有 f(x+x, y)−f(x, y)=Ax+o(|x|), 设函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分. 于是有 z=f(x+x, y+y)−f(x, y) =Ax+By+o(r), 返回 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该点的偏导 数 x z   、 y z   必定存在, 且函数 z=f(x, y)在点(x, y)的全微分为 y y z x x z dz     +   = . A x o x A x f x x y f x y x x =   = +  + −  →  → ] (| |) lim [ ( , ) ( , ) lim 0 0 , 从而 x z   存在, 且 A x z =   . 同理 y z   存在, 且 B y z =   从而 . x z   存在, 且 A x z =   . 同理 y z   存在, 且 B y z =   . A x o x A x f x x y f x y x x =   = +  + −  →  → ] (| |) lim [ ( , ) ( , ) lim 0 0