浙江大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义，第三版）第一讲 随机事件

第一讲随机事件 重点:样本空间、事件的关系与运算。 难点:求随机试验的样本空间;求随机事件的并、交、差、逆。 概率论是硏究偶然现象的内在统计规律的一门学科;数理统计是硏究如何收集、整理、分析受 到随机影响的数据,并对所考察的问题作出推断和预测,直至为采取决策和行动提供依据和建议的 应用数学学科。 、随机事件与样本空间 1.随机试验 定义1满足下列条件的试验称为随机试验(用E表示) ①在相同条件下可以重复进行 ②每次试验的结果有多个,并且事先知道所有可能发生的结果; ③每次试验的具体结果不能事先确定 简称为试验 例1抛一枚硬币,观察它那一面朝上。 例2掷一颗骰子,考虑出现的点数。 例3记录某网站一分钟内被点击的次数。 例4在一批灯泡中任取一只,测其寿命。 例5任选一人,测其身高和体重 2.随机事件 定义2在一次试验中可能出现也可能不出现的结果或事件叫随机事件,简称为事件,用大写 字母A,B,C,D,…表示。 基本事件(样本点):不能再分或没有必要再分的事件。用字母,或1,2,…表示 样本空间:全体基本事件组成的集合,用Ω表示。这样样本空间的子集就表示一个随机事件。 必然事件:样本空间自身是一个子集,每次试验都一定会发生,称为必然事件,仍用9表示

第一讲 随机事件 重点：样本空间、事件的关系与运算。 难点：求随机试验的样本空间；求随机事件的并、交、差、逆。 概率论是研究偶然现象的内在统计规律的一门学科; 数理统计是研究如何收集、整理、分析受 到随机影响的数据，并对所考察的问题作出推断和预测，直至为采取决策和行动提供依据和建议的 应用数学学科。 一、随机事件与样本空间 1．随机试验 定义 1 满足下列条件的试验称为随机试验( 用 E 表示) ①在相同条件下可以重复进行； ②每次试验的结果有多个，并且事先知道所有可能发生的结果； ③每次试验的具体结果不能事先确定； 简称为试验。 例 1 抛一枚硬币，观察它那一面朝上。 例 2 掷一颗骰子，考虑出现的点数。 例 3 记录某网站一分钟内被点击的次数。 例 4 在一批灯泡中任取一只，测其寿命。 例 5 任选一人，测其身高和体重 。 2．随机事件 定义 2 在一次试验中可能出现也可能不出现的结果或事件叫随机事件，简称为事件，用大写 字母 A，B，C，D，…表示。 基本事件(样本点)：不能再分或没有必要再分的事件。用字母ω，或ω1，ω2，…表示。 样本空间：全体基本事件组成的集合，用Ω表示。这样样本空间的子集就表示一个随机事件。 必然事件：样本空间自身是一个子集，每次试验都一定会发生，称为必然事件，仍用Ω表示

不可能事件:空集也是一个子集,每次试验都不可能发生,称为不可能事件,用φ表示。 例6写出例1~5的样本空间 解例1~5样本空间分别为 (1)g={正面朝上,反面朝上} (2)Ω={1,2,3,4,5,6}; (3)9={0,1,2,…}; (4)9={tt≥0}; (5)9={(x,y)x>0y>0}。 注一次试验中有且只有一个基本事件发生;随机事件A发生当且仅当A所包含基本事件之 出现。 随机事件的关系和运算 为了描述事件之间的联系,引入事件的关系与运算 事件的关系 (1)包含关系 若事件A发生必然导致事件B发生,则称事件A包含于B。记为AcB或B→A。对任意事件 A,有φcA,Acg2 (2)互斥(互不相容) 若两个事件A、B不可能同时发生,则称事件A与B互斥(互不相容)。必然事件与不可能事件 互斥;基本事件之间是互斥的 A1,A,…,An是同一样本空间的随机事件,若它们之间任意两个事件互斥的,则称A1,A2 An是两两互斥的。 2.事件的运算 (1)事件的并(和) 若C表示“事件A与事件B至少有一个发生”这一事件,则称C为A与B的并或和。记为 C=A∪B.当A与B互斥时,将并事件记为C=A+B,并称C是A与B的直和。显然有AUA=A, A∪9=9,AUφ=A

不可能事件：空集也是一个子集，每次试验都不可能发生，称为不可能事件，用φ表示。 例 6 写出例 1～5 的样本空间 解 例 1～5 样本空间分别为 （1）Ω={正面朝上, 反面朝上}； （2）Ω={1，2，3，4，5，6}； （3）Ω={0，1，2，…}； （4）Ω={t|t≥0}; (5) Ω={(x,y)|x>0,y>0}。 注 一次试验中有且只有一个基本事件发生；随机事件 A 发生当且仅当 A 所包含基本事件之一 出现。 二、随机事件的关系和运算 为了描述事件之间的联系，引入事件的关系与运算。 1．事件的关系 （1）包含关系 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 A 包含于 B。记为 A  B 或 B  A 。对任意事件 A，有   ,  。 （2）互斥（互不相容）： 若两个事件 A、B 不可能同时发生，则称事件 A 与 B 互斥（互不相容）。必然事件与不可能事件 互斥; 基本事件之间是互斥的。 A1，A2，…，An 是同一样本空间的随机事件，若它们之间任意两个事件互斥的，则称 A1，A2，…， An 是两两互斥的。 2．事件的运算 （1）事件的并（和） 若 C 表示“事件 A 与事件 B 至少有一个发生”这一事件，则称 C 为 A 与 B 的并或和。记为 C=A∪B. 当 A 与 B 互斥时，将并事件记为 C=A+B，并称 C 是 A 与 B 的直和。显然有 A∪A=A， A∪Ω=Ω，A∪φ=A

(2)事件的交(积) 若D表示“事件A与事件B同时发生”这一事件,则称D为A与B的交(积)。记为D=A∩B, 也可简记为D=AB.显然有A∩A=A,A∩Ω=A,A∩φ=中.A与B互斥等价与AB=φ (3)事件的差 若F表示“事件A发生而事件B不发生”这一事件,则称F为A与B的差事件。记为F=4-B 显然有A-A=φ,A-中=A,A-9=中 注:A-B=A-AB并且ABcA (4)事件的逆(对立事件,余事件) 称“事件A不发生”为事件A的逆事件,记为A。显然有AA=p,A-B=AB=A-AB 注:对立事件是互斥的,但互斥事件不一定对立的 事件的交、并可以推广到有限多个和无穷多个事件的情形: 有限个事件A1,A,…,A中至少有一个发生”这一事件称为A1,A2,…,An的并,记 为∪A。 有限个事件A,A,…,A同时发生”这一事件称为A,A,…,A的交,记为∩4 “无穷个事件A1,A,…,An,…中至少有一个发生”这一事件称为A,A2,…,An,… 的并,记为∪A “无穷个事件A1,A,…,An,…同时发生”这一事件称为A1,A,…,An,…的交,记 3.事件的运算规律 交换律:AUB=BUA;A∩B=B∩A 结合律:AU(BUC)=( AUBUC,A∩(B∩C)=(A∩B∩C 分配律:A∩(B∪C)=(A∩BU(A∩C),AU(B∩C)=(AUB)n(AUC) 德·莫根律:∩4=UA:∪A=∩4 例7在掷骰子试验中,A表示“点数小于2”;B表示“点数为奇数”;C表示“出现1点”, 表示“出现4点”,E表示“出现点数小于5”,F表示“出现点数为偶数”;解答下列各题。 (1)A与B,C与D的关系如何?

（2）事件的交（积） 若 D 表示“事件 A 与事件 B 同时发生”这一事件，则称 D 为 A 与 B 的交（积）。记为 D=A∩B， 也可简记为 D=AB. 显然有 A∩A=A，A∩Ω= A，A∩φ=φ. A 与 B 互斥等价与 AB=φ. （3）事件的差 若 F 表示“事件 A 发生而事件 B 不发生”这一事件，则称 F 为 A 与 B 的差事件。记为 F=A-B. 显然有 A-A=φ，A-φ=A，A-Ω=φ 注：A− B = A− AB 并且 AB  A,. （4）事件的逆（对立事件，余事件） 称“事件 A 不发生”为事件 A 的逆事件, 记为  。显然有  = , − =  =  − 。 注： 对立事件是互斥的，但互斥事件不一定对立的。 事件的交、并可以推广到有限多个和无穷多个事件的情形： “有限个事件 A1，A2，…，An 中至少有一个发生”这一事件称为 A1，A2，…，An 的并，记 为  n k Ak =1 。 “有限个事件 A1，A2，…，An 同时发生”这一事件称为 A1，A2，…，An 的交，记为  n k Ak =1 。 “无穷个事件 A1，A2，…，An，…中至少有一个发生”这一事件称为 A1，A2，…，An，… 的并，记为   k =1 Ak 。 “无穷个事件 A1，A2，…，An，…同时发生”这一事件称为 A1，A2，…，An，…的交，记 为   k =1 Ak 。 3．事件的运算规律 交换律： =  ;  =   结合律：(C) = ()C; (C) = ()C 分配律：(C) = ()(C); (C) = ()(C)     i i i i i i i 德•莫根律： Ai = A； A = A 例 7 在掷骰子试验中，A 表示“点数小于 2”； B 表示“点数为奇数”；C 表示“出现 1 点”， D 表示“出现 4 点”，E 表示“出现点数小于 5”，F 表示“出现点数为偶数”；解答下列各题。 （1） A 与 B，C 与 D 的关系如何？

2)求EUFE∩F,E,F,E∩F 解答略。 例8向指定目标射击3次,以A1,A2,4分别表示事件“第一、二、三次击中目标”,试用 A1,A2,A3表示下列事件。 (1)只击中第一次;(2)只击中一次;(3)三次都未击中;(4)至少击中一次。 解:(1)事件“只击中第一次”意味着第一次击中,第二次和第三次都未击中同时发生,所以 “只击中第一次”可表示为AA23 (2)三个事件“只击中第一次”、“只击中第二次”、“只击中第三次”任意一个发生都意味着” 只击中一次”发生,并且上述三个事件是两两互斥的,所以“只击中一次”可表示为 A,A2 A,+A, A2 A,+ A, A2 A3 (3)事件“三次都未击中”意味着“第一次、第二次、第三次未击中”同时发生,所以它可表 示为A1A2A3 (4)事件“至少击中一次”可表示为A1UA2UA

（2）求 E  F,E  F,E,F,E  F 解答略。 例 8 向指定目标射击 3 次，以 A1，A2，A3 分别表示事件“第一、二、三次击中目标”，试用 A1，A2，A3 表示下列事件。 (1)只击中第一次；（2）只击中一次；（3）三次都未击中；（4）至少击中一次。 解：（1）事件“只击中第一次”意味着第一次击中，第二次和第三次都未击中同时发生，所以 “只击中第一次”可表示为 A1A2 A3 . (2) 三个事件“只击中第一次”、“只击中第二次”、“只击中第三次”任意一个发生都意味着” “只击中一次”发生，并且上述三个事件是两两互斥的，所以 “只击中一次”可表示为 A1A2 A3＋A1A2 A3＋A1A2 A3 . （3）事件“三次都未击中”意味着“第一次、第二次、第三次未击中”同时发生，所以它可表 示为 A1A2 A3 . (4)事件“至少击中一次”可表示为 A1∪A2∪A3