浙江大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（电子讲义，第三版）第八讲 随机变量函数的分布

第八讲随机变量函数的分布 重点:离散型随机变量函数的分布律、连续型随机变量函数的概率密度函数 难点:用定义法和公式法求连续型随机变量函数的概率密度函数。 设X是一随机变量,y=g(x)是的一个实值连续函数,可以证明Y=g(也是一个随机变量。于 是,自然要问:能否根据X的分布求Y的分布? 离散型随机变量函数的分布 例1设随机变量X的分布律为 X 2 0 0. 求1)2X+1;2)2+1的分布律 解:由X的分布律可列出下表: 概率0.102 0.3 0.1 0.3 2X+1 l 3 7 由上表可得到 1)2X+1的分布律为: 2X+1 概率 0.2 0.3 0.1 0.3 2)x2+1的分布律为

第八讲 随机变量函数的分布 重点：离散型随机变量函数的分布律、连续型随机变量函数的概率密度函数。 难点：用定义法和公式法求连续型随机变量函数的概率密度函数。 设 X 是一随机变量，y=g(x)是的一个实值连续函数，可以证明 Y=g(X)也是一个随机变量。于 是，自然要问：能否根据 X 的分布求 Y 的分布？ 一、离散型随机变量函数的分布 例 1 设随机变量 X 的分布律为 X -2 -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.3 求 1)2X+1； 2）X 2+1 的分布律。 解： 由 X 的分布律可列出下表： 概率 0.1 0.2 0.3 0.1 0.3 X -2 -1 0 1 2 2X +1 -3 -1 1 3 7 1 2 X + 5 2 1 2 10 由上表可得到： 1) 2X+1 的分布律为： 2X +1 -3 -1 1 3 7 概率 0.1 0.2 0.3 0.1 0.3 2) X 2+1 的分布律为

X2+1 概率 0.3 般地,已知离散型随机变量X分布律为P{X=xk}=pk,k=1,2,…,可用下表求出Y=g1的分布 X x PI p2 P g(X) g(x1) g( g(x,) 注若g(x)中有相同的取值,则把对应的概率值加起来,得到Y的分布律 连续型随机变量函数的分布 设X是连续型随机变量,其密度函数为f(x),则Y=g(X)也是连续型随机变量。设F1(y)为Y的 分布函数,则 F, (y)=P(Y sy)=Pig(X)s yi=Jxetsnsn /(x)dx F的密度函数为 fr()=fr( 我们称这种通过分布函数求密度函数的方法为“定义法”。 例2设随机变量X的概率密度为(x),求 1)Y=aH+ba>0:2)Z=2的概率密度; 解:)F()=P{y5对=Pax+b≤y=F(-b)于是 f(y)=F(y)=2(y-): 2)F2(2)=Px2s}=1)()=>0于是 0 z≤0

1 2 X + 1 2 5 10 概率 0.3 0.3 0.1 0.3 一般地，已知离散型随机变量 X 分布律为 P{X=xk}= pk，k=1,2,…，可用下表求出 Y=g(X)的分布 律， X 1 x 2 x … i x … P 1 p 2 p … i p … g(X ) ( ) 1 g x ( ) 2 g x … ( ) i g x … 注 若 g(xi)中有相同的取值，则把对应的概率值加起来，得到 Y 的分布律。 二、连续型随机变量函数的分布 设 X 是连续型随机变量，其密度函数为 fX(x)，则 Y=g(X)也是连续型随机变量。设 FY(y)为 Y 的 分布函数，则   =  =  = { | ( ) } ( ) { } { ( ) } ( ) x g x y FY y P Y y P g X y f x dx ； Y 的密度函数为 f (y) F (y) Y Y =  。 我们称这种通过分布函数求密度函数的方法为“ 定义法”。 例 2 设随机变量 X 的概率密度为 fX(x)，求 1）Y=a X+b a>0；2) Z= X 2 的概率密度； 解：1） ( ) { } { } ( ) 于是 a y b FY y P Y y P aX b y FY − =  = +  = = − ( ) = ( ) a y b f Y y FY ( ) 1 a y b f a X − ； ） 于是     − −  =  = 0 0 ( ) ( ) 0 2 ( ) { } 2 z F z F z z F z P X z Z Z Z

f2()=F2()={22 (fx(√=)+fx( z>0 ≤0 例3设电压VN0,02),试求P=的分布 解:由例2可知:V的密度函数为 f()=1√2za 2>0 从而P=R 的密度函数为 f(y)=12()={√2m 0 0 0 由上例看出,不能直接给出Y=g(η的概率函数的计算公式,只能根据具体情况,先求 F(y)=[(x,然后再求0 当g(X)为严格单调情形时,有以下一般性的结果。 定理1X的概率密度函数为f(x),函数gx)处处可导且恒有g(x)>0(或g(x)<0),则Y=g( 是连续型随机变量,其概率密度为 fr(y) SrIh(y)ll()l a<y<B 其它 其中a=mn{g(-∞)g(+∞)},B=mx{g(-∞),g(+∞)},hUy)是gx)的反函数 证明略。 注1)只有当g(x)是x的单调可导函数时,才可用以上公式求Y的密度函数。(此法称为“公 式法”) 2)若f(x)为分段函数,注意对应的f()的分段(见下面例5)。 例4设X-N(H,O2),证明Y=ax+b(a≠0)服从正态分布。 证X的密度函数为 ∫x(x) 0<X<+

      + −  =  = 0 0 ( ( ) ( ) 0 2 1 ( ) ( ) z f z f z z z f z F z X X Z Z 。 例 3 设电压 V~N(0,σ2 )，试求 R V P 2 = 的分布 解：由例 2 可知：V2 的密度函数为        = − 0 0 0 2 1 ( ) 2 2 2 z e z z f z z V    从而 的密度函数为 R V P 2 =        = = − 0 0 0 2 ( ) ( ) 2 2 2 y e y Ry R f y Rf Ry Ry P V    。 由上例看出，不能直接给出 Y=g(X)的概率函数的计算公式，只能根据具体情况，先求   = { | ( ) } ( ) ( ) x g x y FY y f x dx ，然后再求 fY(y)。 当 g(X)为严格单调情形时，有以下一般性的结果。 定理 1 X 的概率密度函数为 fX(x)，函数 g(x)处处可导且恒有 g’(x)>0 (或 g’(x)<0)，则 Y=g(X) 是连续型随机变量，其概率密度为：      = 0 其它 [ ( )]| '( )| ( ) f h y h y  y  f y X Y ， 其中  = min{ g(−), g(+)}，  = max{ g(−), g(+)}，h(y)是 g(x)的反函数。 证明略。 注 1） 只有当 g(x)是 x 的单调可导函数时，才可用以上公式求 Y 的密度函数。(此法称为“公 式法”) 2） 若 fX(x)为分段函数，注意对应的 fY(y)的分段（见下面例 5）。 例 4 设 X~ N(μ,σ2 )，证明 Y=a X+b (a≠0)服从正态分布。 证 X 的密度函数为 = −    + − − f x e x x X 2 2 2 ( ) 2 1 ( )   

1令y=g()=ax+b,其反函数为x=Ny)=a、h(y=,它满足定理1的条件,故y=ax+b (a≠0)的密度函数为 Ly-(btap)I- f(y)=4f.(=)21a1√2n0 2to a 故Y服从正态分布且YNau+b,(a0)2 特别地,当a=,b=一时,有yX-N(01),称之为正态分布的标准化。 例5设XU(0,1),求Y=aH+b(a≠0)舶的概率密度。 解:y=ax+b关于x严格单调,其反函数为 h(y) f(y)=M)(y)=/(y=b 10<x<1 而fx(x) 0其它 0<<1 故∫(y)= 其它

令 y =g(x)=a x+b，其反函数为 a h y a y b x h y 1 ( ) , ( ) = − = = ，它满足定理 1 的条件，故 Y=a X+b (a≠0)的密度函数为 = = = −    + − + − − − − − e y a e a f y f a y b a a y b Y a X a y b 2 2 2 2 2( ) [ ( )] 2 ( ) | | 1 2 | | 1 2 1 | | 1 ( ) ( )       故 Y 服从正态分布且 Y~ N(aμ+b,(aσ) 2 )。 特别地，当  1 a = ，   b = − 时，有 ~ N(0,1) X Y  −  = ，称之为正态分布的标准化。 例 5 设 X~ U(0,1)，求 Y=a X+b (a≠0)的概率密度。 解: y =a x+b 关于 x 严格单调，其反函数为 a y b h y − ( ) = 故 a a y b f y f h y h y f Y X 1 ( ) [ ( )]| ( ) | ( ) − =  = 。      = 其它 而 0 1 0 1 ( ) x f x X ，      = − 其它 故 0 0 1 ( ) | | 1 a y b a Y f y 。 