江西理工大学理学院：《高等数学》第六章 向量代数与空间解析几何（6-2）向量的坐标

江画工太猩院 第2节 向量的坐标

江西理工大学理学院 第 2 节 向量的坐标

江画工太猩院 、向量在轴上的投影与投影定理 设有一轴u,AB是轴u上的有向线段 A 如果数满足=AB,且当AB与轴同 向时是正的,当AB与u轴反向时A是负的, 那末数九叫做轴u上有向线段AB的值,记作 AB,即=AB

江西理工大学理学院 一、向量在轴上的投影与投影定理 设有一轴 u，AB 是轴 u 上的有向线段 . u A B AB AB . u AB AB u AB AB u = = λ λ λ λ λ λ ，即 那末数 叫做轴 上有向线段 的值，记作 向时 是正的，当 与 轴反向时 是负的， 如果数 满足 ，且当 与 轴同

江画工太猩院 设是与l轴同方向的单位向量, B AB=(AB)e 设A,B,C是u轴上任意三点,不论这三点 的相互位置如何, AC=AB+ Bc ep(AC)e=(ABe+(bC)e=(AB+ bc)e, AC=AB+bce

江西理工大学理学院 o u A B 1 设 e 是与 u 轴同方向的单位向量， r AB (AB)e. r = 的相互位置如何， 设 A,B,C 是 u 轴上任意三点，不论这 三点 AC e AB e BC e r r r 即 ( ) = ( ) + ( ) (AB BC)e, r = + ∴ AC = AB + BC. Q AC = AB + BC, e r

江画工太猩院 例1在u轴上取定一点o作为坐标原点.设A,B, 是u轴上坐标依次为n1,2的两个点,是与n轴 同方向的单位向量,证明AB=(2-1)l 证:OA=, B 0 故OA=,同理OB=2已,于是 AB=0B-0=u2e-v=(2-u1)l

江西理工大学理学院 证 , QOA = u1 例1 在u轴上取定一点o作为坐标原点．设 A, B, 是u轴上坐标依次为u1, u2的两个点，er是与u轴 同方向的单位向量，证明AB u u er ( ) = 2 − 1 . , 1 OA u er 故 = u e u e r r = 2 − 1 ( ) . 2 1 u u er = − o u A B 1 e r u1 u2 , 2 OB u er 同理， = AB = OB − OA 于是

江画工太猩院 空间两向量的夹角的概念 n≠0,b≠0, 向量在与向量b的夹角 =(a,b)=(b,a)(0≤p≤ 类似地,可定义向量与一轴或空间两轴的夹角 特殊地,当两个向量中有一个零向量时,规定 它们的夹角可在0与π之间任意取值

江西理工大学理学院 空间两向量的夹角的概念： 0 , r r a ≠ 0 , r r b ≠ a r b r ϕ 向量 a r与向量 b r 的夹角 ( a , b ) r r ϕ = ( b , a ) r r = 类似地，可定义向量与一轴 或空间两轴的夹角 . 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在 0与 之间任意取值 π . ( ) 0 ≤ ϕ ≤ π

江画工太猩院 空间一点在轴上的投影 过点A作轴u的垂直 平面,交点A即为点 →L A在轴l上的投影

江西理工大学理学院 空间一点在轴上的投影 u • A A′ 过点 A作轴 u的垂直 平面，交点 A′即为点 A在轴 u上的投影

江画工太猩院 空间一向量在轴上的投影 B A B 已知向量的起点A和终点B在 轴u上的投影分别为A,B那 么轴u上的有向线段AB的 值,称为向量在轴u上的投影

江西理工大学理学院 空间一向量在轴上的投影 u A A′ B B′ 已知向量的起点 A和终点 B 在 轴 u上的投影分别为 A′, B′那 么轴 u上的有向线段 A′B′的 值，称为向量在轴 u上的投影

江画工太猩院 向量AB在轴n上的投影记为 Prj,AB=AB 关于向量的投影定理(1) 向量AB在轴u上的投影等于向量的模乘 以轴与向量的夹角的余弦 PrLAB=AB|c0sp 证 B Pr juAB=Pri AB B =AB cos

江西理工大学理学院 向量AB在轴u上的投影记为 Pr juAB = A′B′. 关于向量的投影定理（1） 向量AB在轴u上的投影等于向量的模乘 以轴与向量的夹角的余弦：Pr juAB =| AB | cosϕ 证 u A B A′ B′ B′′ ϕ Pr juAB= Pr ju′AB =| AB | cosϕ u′

江画工太猩院 定理1的说明: (1)0≤g 投影为正 (2),<gs,投影为负; (3) 投影为零 (4)相等向量在同一轴上投影相等;

江西理工大学理学院 定理1的说明： 投影为正； 投影为负； 投影为零； u a r b r c r (4) 相等向量在同一轴上投影相等； (1) 0 ≤ ϕ < , 2π < ϕ ≤ π2 (2) π, (3) ϕ = , 2π

江画工太猩院 关于向量的投影定理(2) 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和.(可推广到有限多个) Prj(a,+2)=Pr ja, +Pr ja2 C BB

江西理工大学理学院 关于向量的投影定理（2） 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在 该轴上的投影之和. Pr ( ) Pr Pr . 1 2 1 2 j a a ja ja r r r r + = + A A′ B B′ C C′ （可推广到有限多个） u a1 r a2 r