江西理工大学理学院：《高等数学》第八章 重积分（8-2）直角坐标计算二重积分

江画工太猩院 第二节 直角坐标计算二重积分

江西理工大学理学院 第二节 直角坐标计算二重积分

江西理工大学理学院 补充平行截面面积为已知的立体的体积 如果一个立体不是旋转体,但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积,那么,这 个立体的体积也可用定积分来计算 A(x)表示过点 0 X x且垂直于x轴 的截面面积,A(x)为x的已知连续函数 b dV=A()dx,立体体积V=(x)dx. a

江西理工大学理学院 x o a b 补充:平行截面面积为已知的立体的体积 x x + dx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立 体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算. A( x)表示过点 x且垂直于 x轴 的截面面积， A( x)为x的已知连续函数 dV = A(x)dx, ( ) . ∫ = ba 立体体积 V A x dx

江画工太猩院 利用直角坐标系计算二重积分 如果积分区域为:aSx≤b,g(x)sy≤q2(x [X-型] 2(x) y=p2(r) D D y=q, 其中函数q(x)、qx)在区间l,b上连续

江西理工大学理学院 如果积分区域为：a ≤ x ≤ b, ( ) ( ). 1 2 ϕ x ≤ y ≤ ϕ x 其中函数 、 在区间 上连续 ( ) . ϕ1 x ( ) ϕ 2 x [a,b] 一、利用直角坐标系计算二重积分 ［X－型］ ( ) y = ϕ2 x a b D ( ) y = ϕ1 x D a b ( ) 2 y = ϕ x ( ) y = ϕ1 x

江画工太猩院 /(xM的值等于以D为底,以曲面 ∫(x,y)为曲项柱体的体积 f(r, y) 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, A y=02(x) y=(x) 得』/(x)=a」 2(x) ∫(x,y)小y P1(x) D

江西理工大学理学院 为曲顶柱体的体积． 的值等于以 为底，以曲面 ( , ) ( , ) f x y f x y d D z D = ∫∫ Q σ 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法 , ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 ∫∫ ∫ ∫ = D b a x x f x y d dx f x y dy ϕ ϕ 得 σ z y a x x 0 b z = f(x, y) ( ) 1 y = ϕ x ( ) 2 y = ϕ x ( ) 0 A x

江画工太猩院 如果积分区域为:C≤y≤d,q(y)sxs2(y [Y一型] x=q2( x=o(y) D D x=2y) x=p2(y) d rp2(y) f(, ydo= dy f(x, y)dx. J@1(y)

江西理工大学理学院 ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 21 ∫∫ ∫ ∫ = D dc yy f x y d dy f x y dx ϕϕ σ 如果积分区域为：c ≤ y ≤ d, ( ) ( ). 1 2 ϕ y ≤ x ≤ ϕ y ［Y－型］ ( ) 2 x = ϕ y ( ) 1 x = ϕ y D c d c d ( ) 2 x = ϕ y ( ) 1 x = ϕ y D

江画工太猩院 X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点 Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点 若区域如图,则必须分割 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 ∫+」∫+ dDD, D3

江西理工大学理学院 X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， D3 D2 D1 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 . 1 2 3 ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ = + + D D D D 则必须分割

江画工太猩院 例1改变积分tf(x,)的次序 解积分区域如图 1-x 原式=小(x,y

江西理工大学理学院 y = 1 − x 例 1 改变积分 ∫ ∫ − x dx f x y dy 10 10 ( , ) 的次序. 原式 ∫ ∫ − = y dy f x y dx 10 10 ( , ) . 解 积分区域如图

江画工太猩院 例2改变积分 x-x 式 f(xy)+x(x)的次序 解积分区域如图 =2 =v2X-X 一原式 y .,f(x, ydx l-

江西理工大学理学院 y = 2− x 2 y = 2x − x 例 2 改变积分 ∫ ∫ ∫ ∫ − − + x x x dx f x y dy dx f x y dy 20 21 2 0 10 ( , ) ( , ) 2 的次序. 原式 ∫ ∫ −− − = 10 21 1 2 ( , ) y y dy f x y dx. 解 积分区域如图

江画工太猩院 2 的米2P厂(x,y)(a>0) 例3改变积分 解 2c ,=√2ax y=√2x-x2→x=a土a2-y 原式=d”f(x,y 2a 三p2 f(x, y)dx t 小|f(x,ytx Jatya-y 2a

江西理工大学理学院 例 3 改变积分 ( , ) ( 0) 20 22 2 > ∫ ∫ − dx f x y dy a a ax ax x 的次序. y = 2ax 解 =∫ ∫ a y a− a − a y dy f x y dx 0 2 2 2 原式 2 ( , ) ∫ ∫ + − + a a a a y dy f x y dx 0 2 2 2 ( , ) ( , ) . 2 222 ∫ ∫ + a a aa dy y f x y dx 2 y = 2ax − x 2 2 ⇒ x = a ± a − y a 2 a 2 a a

江画工太猩院 例4求∫(x2+y)dd,其中D是由抛物线 y=x2和x=y2所围平面闭区域 解两曲线的交点 y=x ,→(0,0),(1,1) 0.20.40.60,81 r=y (x'+y dxdy d2(x2+y) D Ix(x-x)+(r-r)dr- 33

江西理工大学理学院 例 4 求∫∫ + D (x y)dxdy 2 ，其中D是由抛物线 2 y = x 和 2 x = y 所围平面闭区域. 解 两曲线的交点 (0,0) , (1,1), 2 2 ⇒ ⎩⎨⎧ == x y y x ∫∫ + D (x y)dxdy 2 ∫ ∫ = + 10 2 2 ( ) x x dx x y dy x x x (x x )]dx 21 [ ( )2 4 10 2 = − + − ∫ . 140 33 = 2 y = x 2 x = y 2 y = x 2 x = y