江西理工大学理学院：《高等数学》第八章 重积分（8-1）二重积分的概念与性质）

江画工太猩院 第八章 重积分

江西理工大学理学院 第八章 重 积分

江画工太猩院 第一节 二重积分的欐食与性质

江西理工大学理学院 第一节 二重积分的概念与性质

江西理工大学理学院 、问题的提出 1.曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积高 特点:平顶 柱体体积=? 特点:曲顶 曲顶柱体

江西理工大学理学院 柱体体积=底面积×高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. z = f (x, y) D １．曲顶柱体的体积 一、问题的提出

江画工太猩院 求曲顶柱体的体积采用“分割、求和 取极限”的方法,如下动画演示 放]目

江西理工大学理学院 播放播放 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 、取极限”的方法，如下动画演示．

江画工太猩院 步骤如下: 先分割曲顶柱体的 底,并取典型小区 f(, y) 域 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 5,) 顶柱体的体积,x Ao 曲顶柱体的体积V=im∑f(5,m)△ -)0

江西理工大学理学院 步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，x z y o D z = f (x, y) ∆σi • ( , ) ξi ηi 先分割曲顶柱体的 底，并取典型小区 域， lim ( , ) . 1 0 i i n i i V f ξ η σ λ = ∑ ∆ = 曲顶柱体的体积 →

江画工太猩院 2.求平面薄片的质量 设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域 D,在点(x,y)处的面密度为p(x,y),假定 p(x,y)在D上连续,平面薄片的质量为多少? 将薄片分割成若干小块, (51,1) 取典型小块,将其近似 看作均匀薄片, 所有小块质量之和 x 近似等于薄片总质量M=im∑(5,m)△a

江西理工大学理学院 设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D，在点 ( x , y )处的面密度为 ρ ( x , y )，假定 ρ ( x , y ) 在 D上连续，平面薄片的质量为多少？ ２．求平面薄片的质量 ∆ σ i • ( , ) ξ i ηi 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 lim ( , ) . 1 0 i i n i M ρ ξi η σ λ = ∑ ∆ = → x y o

江画工太猩院 二、二重积分的概念 定义设∫(x,y)是有界闭区域D上的有界函数, 将闭区域D任意分成n个小闭区域△a1, △a2,…,Δσn,其中△σ表示第个小闭区域, 也表示它的面积在每个△σ;上任取一点(5,mn) 作乘积∫(5;,n)△a;,(i=12,,n), 并作和∑f(5,m)△a

江西理工大学理学院 定义 设 f (x, y)是有界闭区域D上的有界函数， 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域 ∆σ 1 ， ∆σ 2 , L，∆σ n，其中∆σ i表示第i个小闭区域， 也表示它的面积，在每个∆σ i上任取一点( , ) ξ i ηi ， 作乘积 ( , ) i i f ξ η ∆σ i， (i = 1,2,L,n)， 并作和 i i n i i ∑ f ξ η ∆σ = ( , ) 1 ， 二、二重积分的概念

江画工太猩院 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 f(x,y)在闭区域D上的二重积分, 记为∫(x,yda, D im∑f(5,m)△a 面 积分区域 积 被积函数 被积 分 !积积 变 表元分 达素和

江西理工大学理学院 积分区域 如果当各小闭区域的直径中的最大值 λ 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x , y )在闭区域 D 上的二重积分， 记为∫∫ D f ( x , y ) dσ ， 即∫∫ D f ( x , y ) dσ i i n i i f ξ η σ λ = ∑ ∆ = → lim ( , ) 1 0 . 被积函数 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素

江画工太猩院 对二重积分定义的说明: (1)在二重积分的定义中,对闭区域的划分是 任意的. 2)当f(x,y)在闭区域上连续时,定义中和式 的极限必存在,即二重积分必存在 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积. 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的 负值

江西理工大学理学院 (1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的. (2)当 f ( x, y)在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在. 对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．

江画工太猩院 在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D, 则面积元素为d=dhy x 故二重积分可写为 D D

江西理工大学理学院 在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域 D， ∫∫ ∫∫ σ = D D f ( x , y ) d f ( x , y )dxdy dσ = dxdy 故二重积分可写为 x y o D 则面积元素为