江西理工大学理学院：《高等数学》第四章 一元函数积分学（4-5）第二换元法

江画工太猩院 第5节 不定积分换元法二

江西理工大学理学院 第 5 节 不定积分换元法二

江画工太猩院 第二类换元法 问题x31-x2tx=? 解决方法改变中间变量的设置方法 过程令x=int→t=cost, 5I5v1-xdrx= (sint)5\@ t costdt sin tcos tdt (应用“凑微分”即可求出结果)

江西理工大学理学院 问题 1 ? 5 2 − = ∫ x x dx 解决方法 改变中间变量的设置方法. 过程 令 x = sint ⇒ dx = costdt, − = ∫ x x dx 5 2 1 (sint) 1 sin t costdt 5 2 ∫ − t tdt 5 2 sin cos ∫ = = LL （应用“凑微分”即可求出结果） 第二类换元法

江画工太猩院 定理2设x=V(t)是单调的、可导的函数, 并且y()≠0,又设/()y()具有原函数, 则有换元公式60,lon 其中v(x)是x=y()的反函数 证设Φ()为fy()y()的原函数, 令严(x)=cy(x) d e dt 则F(x)= ∫y(t)y(l dt dx

江西理工大学理学院 其中ψ ( x)是x =ψ (t)的反函数. 证 设 为 的原函数 Φ(t) f [ψ (t)]ψ′(t) , 令F(x) = Φ[ψ (x)] 则 dx dt dt d F x ⋅ Φ ′( ) = = f [ψ (t)]ψ′(t) , ( ) 1 ψ′ t ⋅ 设x =ψ (t)是单调的、可导的函数， [ ] ( ) ( ) [ ( )] ( ) t x f x dx f t t dt ψ ψ ψ ∫ ∫ = 则有换元公式 = ′ 并且ψ′(t) ≠ 0，又设 f [ψ (t)]ψ′(t)具有原函数， 定理2

江画工太猩院 =∫()=f(x) 说明F(x)为f(x)的原函数, ∫(x)dc=F(x+C=ox+C f(r]dx=l fly(Oly (oldt t=y(x) 第二类积分换元公式

江西理工大学理学院 第二类积分换元公式 ∫ ∴ f ( x )dx = F ( x ) + C = Φ [ ψ ( x)] + C , [ ] ( ) ( ) [ ( )] ( ) t x f x dx f t t dt ψ ψ ψ ∫ ∫ = = ′ = f [ψ ( t)] = f ( x). 说明 F ( x ) 为 f ( x )的原函数

江画工太猩院 例1求 t(a>0) √x+a 解令x= tant→d=asec2tte 22 d . asec tdt √x+a sect sectdt =In(sect tant)+C xx+a √x+a to

江西理工大学理学院 例1 求 解 ( 0). 12 2 > + ∫ dx a x a 令x = a tant dx a tdt 2 ⇒ = sec = + ∫ dx x a 2 2 1 a tdt a t 2 sec sec1 ⋅ ∫ ∫ = sectdt = ln(sec t + tant) + C t a 2 2 x x + a ln . 2 2 C a x a a x +⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + = + ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ π π ∈ − 2, 2 t

江画工太猩院 例2求x x T优 解令x=2 sint dx=2 costa t∈ ∫x34-xhkx=∫(2imty、4-4sm2t:2oMt 32 ]sin t os tdt=32 sint(1-cos t)cos tdt -32(cost-cost) d cost 320cost--coSt)+C 35 (4x)2+1(4-x)+C.4-x2

江西理工大学理学院 例2 求 解 4 . 3 2 x x dx ∫ − 令 x = 2sint dx = 2costdt ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ π π ∈ − 2, 2 t x x dx ∫ − 3 2 4 (2sint) 4 4sin t 2costdt 3 2 = − ⋅ ∫ t tdt 3 2 32 sin cos ∫ = t t tdt 2 2 32 sin (1 cos )cos ∫ = − 32 (cos t cos t)d cost 2 4 = − − ∫ = − t − cos t) + C 51 cos 31 32( 3 5 t2 x 2 ( ) ( 4 ) . 4 − x 51 4 34 5 2 3 2 = − − x + − x + C

江画工太猩院 例3求 t(a>0) 解令x=aet= a tdt te|0.z dx= sect. tant d t √x-a a tant ∫een+C x ix-a+C. t x-ll

江西理工大学理学院 例3 求 解 ( 0). 12 2 > − ∫ dx a x a 令x = asec t ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ ∈ 2 0,π dx = asecttantdt t = − ∫ dx x a 2 2 1 dt a t a t t ∫ ⋅ tan sec tan ∫ = sectdt = ln(sec t + tant) + C t a x 2 2 x − a ln . 2 2 C a x a a x +⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ − = +

江画工太猩院 说明()以上几例所使用的均为三角代换 三角代换的目的是化掉根式 一般规律如下:当被积函数中含有 ()a2-x2可令x=asm6; (2)a2+x2可令x=n; (3)x2-a2可令x=aet

江西理工大学理学院 说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有 2 2 (1) a − x 可令x = asint; 2 2 (2) a + x 可令x = a tant; 2 2 (3) x − a 可令x = asec t

江画工太猩院 说明(2)积分中为了化掉根式是否一定采用 三角代换并不是绝对的,需根据被积函数的 情况来定 例4求 x(三角代换很繁琐) 1+x 解令t=Ⅵ1+x2→x2=12-1,x=tt, √1+x d=」(-12+1 53"+t+C=,(8-4x2+3x)1+x2+C 15

江西理工大学理学院 积分中为了化掉根式是否一定采用 三角代换并不是绝对的，需根据被积函数的 情况来定 . 说明(2) 例4 求 dx x x ∫ + 2 5 1 （三角代换很繁琐） 2 令 t = 1 + x 1 , 2 2 ⇒ x = t − xdx = tdt , dx x x ∫ + 2 5 1 ( ) tdt t t ∫ − = 2 2 1 ( t t )dt ∫ = − 2 + 1 4 2 = t − t + t + C 5 3 3 2 5 1 ( 8 4 3 ) 1 . 15 1 2 4 2 = − x + x + x + C 解

江画工太猩院 例5求 1+e 解令t=1+e→e=t-1, 2t x=l 1+e t-1t+1 In+C=2ln(1+e-1)-x+C. t+1

江西理工大学理学院 例5 求 解 . 1 1 dx e ∫ x + x 令 t = 1+ e 1, 2 ⇒ e = t − x , 1 2 2 dt t t dx − = dx e ∫ x 1+1 dt t ∫ − = 1 22 dt t t ∫ ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ + − − = 1 1 1 1 C t t + + − = 1 1 ln 2ln( 1 e 1) x C. x = + − − + ln( 1), 2 x = t −