江西理工大学理学院：《高等数学》第三章 中值定理与导数的应用（3-6）曲率

江画工太猩院 第6节 曲率

江西理工大学理学院 第 6 节 曲 率

江画工太猩院 弧微分 设函数f(x)在区间(a,b) 内具有连续导数 A R 基点:Axn, M(x,y)为任意一点,0 xxx+△rx 规定:(1)曲线的正向与x增大的方向一致; (2)AM=s,当AM的方向与曲线正向 致时,s取正号,相反时,s取负号

江西理工大学理学院 一、弧微分 N R T A 0 x M x x + ∆x . ( ) ( , ) 内具有连续导数 设函数 f x 在区间 a b x y o : ( , ), 0 0 基点 A x y M(x, y)为任意一点, 规定：(1)曲线的正向与 x增大的方向一致 ; (2) AM = s, j 一致时 , 取正号 ,相反时 , 取负号 . 当 的方向与曲线正向 s s AMj

江画理工大学雅院 单调增函数s=S(x) R 设N(x+△x,y+Δy,如图, x x+Ar x WN<阶<MT+NT当Ax→时, △ MN=√△x)2+(△y)2 △x→1+y2dt △→ds dx32+(dy)2=1+y, MT=4y-d→0,故d=+y2,孤微分公式 s=s(x)为单调增函数,故d=√1+p2a

江西理工大学理学院 单调增函数 s = s(x). 设N(x + ∆x, y + ∆y), 如图， MN < MN < MT + NT j 当∆x → 0时, 2 2 MN = (∆x) + (∆y) x x y ∆ ∆ ∆ = + 2 1 ( ) 1 , 2 → + y′ dx MN = ∆s j → ds, 2 2 MT = (dx) + (dy) 1 , 2 = + y′ dx NT = ∆y − dy → 0, 1 . 2 故 ds = + y′ dx Q s = s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds = + y′ dx 弧微分公式 N M T A R x0 x x + ∆x x y o

江画工太猩院 二、曲率及其计算公式 1、曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量. △S, M, M M △S,N △a 弧段弯曲程度转角相同弧段越 越大转角越大短弯曲程度越大

江西理工大学理学院 二、曲率及其计算公式 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量． M1 M3 )∆ α2 M2 ∆S2 ∆S1 M M′ ∆ S 1 ∆ S2 N N′ ) ∆ α 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1、曲率的定义 ∆ α1 )

江画工太猩院 设曲线C是光滑的, M M是基点.MM=△s, S M △a M→M切线转角为△a a+△a 定义 弧段MM的平均曲率为/△a △ △a 曲线C在点M处的曲率K=lim A→0△ 在im=存在的条件下,K= d al △s→>0△sds ds

江西理工大学理学院 ) α + ∆ α ∆ α ∆ S S ) α . M′. M C M0 y o x . s MM K ∆ ∆ ′ = α 弧段 的平均曲率为 （ 设曲线 C是光滑的， . M 0 是基点 MM′ = ∆ s, （ M → M′ 切线转角为 ∆ α . 定义 s K s ∆ ∆ α = ∆ → 0 曲线C 在点M 处的曲率 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s α α = ∆ ∆ ∆ → . ds d K α =

江画工太猩院 注意:(1)直线的曲率处处为零; (2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大 2、曲率的计算公式 设y=f(x)二阶可导,:tana 有a= arctan,dx2y, 1+y 2 d=1+y“d.:k= 1+y

江西理工大学理学院 2、曲率的计算公式 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大. 设y = f (x)二阶可导, Qtanα = y′, , 1 2 dx y y d + ′ ′′ α = . (1 )2 3 2 y y k + ′ ′′ ∴ = 有α = arctan y′, 1 . 2 ds = + y′ dx

江画工太猩院 设/= 二阶可导, y=y(t), dy__y(t dy o(ty(t-o" (t)y'(o dr o'(t) dx k g(y"()-g"(ty()l o(0+y(o

江西理工大学理学院 , ( ), ( ), 设 二阶可导 ⎩⎨⎧ == y t x t ψϕ . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t k ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ′ + ′ ′ ′′ − ′′ ′ ∴ = , ( ) ( ) t t dx dy ϕ ψ ′ ′ Q = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y ϕ ϕ ψ ϕ ψ ′ ′ ′′ − ′′ ′ =

江画工太猩院 例1抛物线y=ax2+bx+c上哪一点的曲率最大 解y=2ar+b,y"=2a, 2a k= 3· [1+(2ax+b) 显然,当x=-°时,k最大 b b2-4ac 又∵(- )为抛物线的顶点 2a 4a ∴抛物线在顶点处的曲率最大

江西理工大学理学院 例1 ? 抛物线 y = ax2 + bx + c 上哪一点的曲率最大 解 y′ = 2ax + b, y′′ = 2a, . [1 (2 ) ] 2 2 3 2 ax b a k + + ∴ = 显然, , 2 当 时ab x = − k最大. ) , 4 4 , 2 ( 2 又 为抛物线的顶点 a b ac ab − Q − − ∴抛物线在顶点处的曲率 最大

江画工太猩院 例2铁轨由直道转入圆弧弯道时,若接头处 的曲率突然改变,容易发生事故,为了行驶平 稳,往往在直道和 弯道之间接入一段 缓冲段(如图,使曲 率连续地由零过渡 到(R为圆弧轨道 R 点击图片任意处播放暂停 的半径

江西理工大学理学院 点击图片任意处播放\暂停 ). ( 1 ( ), , 的半径 到 为圆弧轨道 率连续地由零过渡 缓冲段 如图 使曲 弯道之间接入一段 稳，往往在直道和 的曲率突然改变 容易发生事故，为了行 驶平 铁轨由直道转入圆弧弯 道时，若接头处 R R 例2

江画工太猩院 通常用三次抛物线y=x,x∈[0,xn作为 6RI 缓冲段OA,其中l为OA的长度,验证缓冲段 OA在始端O的曲率 为零,并且当三很小 R <1)时,在终端 R R lmmmmmunmpnm A(ro, yo A的曲率近似为 0 C(ro 0)x R

江西理工大学理学院 . 1 ( 1 ) , [ 0 , ] 6 1 0 3 R A R l R l OA O OA l OA x x x Rl y 的曲率近似为 时，在终端 为零 并且当 很小 在始端 的曲率 缓冲段 ，其中 为 的长度，验证缓冲段 通常用三次抛物线 ， ．作为 << = ∈ x y o R ( , ) 0 0 A x y ( ,0 ) C x0 l