江西理工大学理学院：《高等数学》第四章 一元函数积分学（4-1）定积分的概念与性质

江画工太猩院 第四章 元函数积分学

江西理工大学理学院 第四章 一元函数积分学

江画工太猩院 第1节 定积分 的概念与性质

江西理工大学理学院 第 1 节 定积分 的概念与性质

江画工太猩院 问题的提出 实例1(求曲边梯形的面积) 曲边梯形由连续曲线 y=f(x y=∫(x)((x)≥0) A=? x轴与两条直线x=a、 x=b所围成

江西理工大学理学院 a b x y o A = ? 曲边梯形由连续曲线 实例1 （求曲边梯形的面积） y = f ( x)( f ( x) ≥ 0)、 x轴与两条直线x = a、 x = b所围成. 一、问题的提出 y = f (x)

江画工太猩院 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 y 0 x o (四个小矩形) (九个小矩形) 显然,小矩形越多,矩形总面积越接近 曲边梯形面积

江西理工大学理学院 a b x y a b x o y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积． （四个小矩形） （九个小矩形）

江画工太猩院 观察下列演示过程,注意当分割加细时, 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 3个分割点的图示 1.(上和-下和) 1.0555(积分近似值)

江西理工大学理学院 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放播放

江画工太猩院 曲边梯形如图所示,在区间[a,b内插入若干 个分点,a=x<x1<x2<…<xn1<xn=b, 把区间[a,b1分成n 个小区间[x1,xb 长度为Ax=x-x=i 在每个小区间[x,x 上任取一点2, 01 a x, x -5xi xm-b x 以[x1,x为底,f(:)为高的小矩形面积为 A2=f(△r

江西理工大学理学院 曲边梯形如图所示， , [ , ] a x0 x1 x2 x 1 x b a b 个分点， = < < < L< n− < n = 在区间 内插入若干 a b x y o ξ i x1 xi−1 xi xn−1 ; [ , ] [ , ] 1 1 − − ∆ i = i − i i i x x x x x a b n 长度为 个小区间 ， 把区间 分成 上任取一点 ， 在每个小区间 i i i x x ξ [ , ] −1 i i xi A = f (ξ )∆ 以[xi−1 , xi]为底，f (ξi)为高的小矩形面积为

江画工太猩院 曲边梯形面积的近似值为 A≈∑(5r 当分割无限加细,即小区间的最大长度 九=max{△x1,Ax2,…△xn} 趋近于零(→0)时, 曲边梯形面积为A=lim∑(5)Ax

江西理工大学理学院 i n i i A ≈ ∑ f ∆x = ( ) 1 ξ 曲边梯形面积的近似值为 i n i i A = ∑ f ∆x = → lim ( ) 1 0 ξ λ 趋近于零 时， 当分割无限加细 即小区间的最大长度 ( 0) max{ , , } , 1 2 → = ∆ ∆ ∆ λ λ x x L xn 曲边梯形面积为

江画工太猩院 实例2(求变速直线运动的路程) 设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)是 时间间隔T,Z】上t的一个连续函数,且 v(t)≥0,求物体在这段时间内所经过的路程. 思路:把整段时间分割成若干小段,每小段上 速度看作不变,求出各小段的路程再相加,便 得到路程的近似值,最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值

江西理工大学理学院 实例2 （求变速直线运动的路程） 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是 时间间隔[ , ] T1 T2 上 t 的一个连续函数，且 v(t) ≥ 0，求物体在这段时间内所经过的路程. 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．

江画工太猩院 (1)分割T=t4<t<t2<…<tn1<tn=7 Mt=t1-t=Asv△M 部分路程值某时刻的速度 (2)求和s≈∑vr)M1 (3)取极限=max{△r,Mt2…,△Mn} 路程的精确值s=lim∑VG)Δ1 =1

江西理工大学理学院 （1）分割 1 0 1 2 1 T2 T t t t t t = < < <L< n− < n = ∆ i = i − i−1 t t t i i i ∆s ≈ v(τ )∆t 部分路程值 某时刻的速度 （2）求和 i i n i s ≈ ∑v ∆t = ( ) 1 τ （3）取极限 max{ , , , } 1 2 n λ = ∆t ∆t L ∆t i n i i s = ∑v ∆t = → lim ( ) 1 0 τ λ 路程的精确值

江画工太猩院 二、定积分的定义 定义设函数f(x)在a,b上有定义,在囗小中任意插 入若干个分点a=x<x<x,<…<x,<x=b 把区间a,b分成n个小区间,各小区间的长度依次为 Ax=x1-x1,(i=1,2,…),在各小区间上任取 点(5∈Ax),作乘积f(5)x1(i=12,) 并作和S=∑f()x 记=max{Ax1,△x2,…,△xn},如果不论对an,b

江西理工大学理学院 设函数 f (x)在[a,b]上有定义， 记 max{ , , , } 1 2 n λ = ∆x ∆x L ∆x ，如果不论对[a,b] 在[a,b]中任意插 入若干个分点 a = x0 < x1 < x2 <L< xn−1 < xn = b 把区间[a,b]分成n个小区间，各小区间的长度依次为 ∆ i = i − i−1 x x x ，(i = 1,2,L)，在各小区间上任取 一点ξ i（ξ i ∈ ∆xi），作乘积 i i f (ξ )∆x (i = 1,2,L) 并作和 i i n i S = ∑ f ∆x = ( ) 1 ξ ， 二、定积分的定义 定义