江西理工大学理学院：《高等数学》第四章 一元函数积分学（4-4）不定积分换元法一

江画工太猩院 第4节 不定积分换元法一

江西理工大学理学院 第 4 节 不定积分换元法一

江西理工大学理学院 第一类换元法 问题cos 2xdx2 sin2 2x+C, 解决方法利用复合函数,设置中间变量 过程令t=2xdx=dt, coS2xdx =costdt=-sint+ C=-sin 2x+C

江西理工大学理学院 问题 ∫ cos2xdx= sin2x + C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t = 2x , 21 ⇒ dx = dt ∫ cos2xdx tdt ∫ = cos 21 = sint + C 21 sin2 . 21 = x + C 第一类换元法

江画工太猩院 在一般情况下: 设F(l)=f(m,则|f(a)dn=F(l)+C 如果l=p(x)(可微) ∵dFlp(x)=八l(x)(x)hx flourlo(x)dx= Flo(x)+C f( )du emory由此可得换元法定理

江西理工大学理学院 在一般情况下： 设 F′(u) = f (u), 则 ( ) ( ) . ∫ f u du = F u + C 如果u = ϕ(x)（可微） Q dF[ϕ(x)] = f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx ∫ ∴ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx = F[ϕ(x)]+ C = ∫ = ( ) [ ( ) ] u du u x f ϕ 由此可得换元法定理

江画工太猩院 定理1设∫()具有原函数,l=g(x)可导, 则有换元公式 「g(x)p(x)dx=订jf()dl= 第一类换元公式(凑微分法) 说明使用此公式的关键在于将 「8(x化为/1p(x)t 观察重点不同,所得结论不同

江西理工大学理学院 设 f (u)具有原函数， ∫ f [ϕ(x)]ϕ′(x)dx = ∫ = ( ) [ ( ) ] u du u x f ϕ 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 ∫ g(x)dx 化为 [ ( )] ( ) . ∫ f ϕ x ϕ′ x dx 观察重点不同，所得结论不同. u = ϕ( x)可导， 则有换元公式 定理1

江画工太猩院 例刺 sin 2xdx 解(-)J2dk1sn2(2x) --cos2x+ C 解(二)|sin2x=2 sinx cos xd 2 ]sin.xd(inx =(sin x),+C; 解(三)s2xdk=2 sinxcos xdx

江西理工大学理学院 例1 求 sin 2 . ∫ xdx 解（一） ∫sin 2xdx ∫ = sin 2 ( 2 ) 2 1 xd x cos 2 ; 2 1 = − x + C 解（二） ∫sin 2xdx ∫ = 2 sin xcos xdx ∫ = 2 sin xd(sin x ) (sin ) ; 2 = x + C 解（三） ∫sin 2xdx ∫ = 2 sin xcos xdx ∫ = − 2 cos xd(cos x ) (cos ) . 2 = − x + C

江画工太猩院 例2求 3+2x 111 解 (3+2x), 3+2x23+2x 3+2x213+2x (3+2x)x d=n|+C=n|3+2x|+C 一般地∫/(a+=可订(0dman

江西理工大学理学院 例2 求 . 3 21 dx x ∫ + 解 (3 2 ) , 3 21 21 3 21 ⋅ + ′ + = ⋅ + x x x dx x ∫ 3 + 21 x dx x (3 2 ) 3 21 21 ⋅ + ′ + = ∫ du u∫ = 1 21 = ln | u | +C 21 ln | 3 2 | . 21 = + x +C ∫ f (ax + b)dx = ∫ u du u=ax+b f a[ ( ) ] 1 一般地

江画工太猩院 例3求 x(1+2nx) 解 d x x(1+ 2In x)J1+2Inx d(1+2nx) 21+2Inx u=l+2lnx In u+C=In 1+2Inx+C

江西理工大学理学院 例3 求 . (1 2ln ) 1 dx x x ∫ + 解 dx x x ∫ (1+ 2ln ) 1 (ln ) 1 2ln 1 d x x ∫ + = (1 2ln ) 1 2ln 1 21 d x x + + = ∫ u = 1+ 2ln x ∫ = du u1 21 = ln | u | +C 21 ln | 1 2ln | . 21 = + x +C

江画工太猩院 式 例4求 (1+x) x+1-1 解 d x tx tx TX (1+x)(1+x) 1 +C1+ to 1+x 2(1+x) 11 + 2+C 1+x2(1+x)

江西理工大学理学院 例4 求 . ( 1 ) 3dx x x ∫ + 解 dx x x ∫ + 3 ( 1 ) dx x x ∫ + + − = 3 ( 1 ) 1 1 ] ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 [ 2 3 d x x x + + − + = ∫ 1 2 2 2 ( 1 ) 1 1 1 C x C x + + + + + = − . 2 ( 1 ) 1 1 1 2 C x x + + + + = −

江画工太猩院 例5求厂 解 odx a+x 々十项 -arctan -+c

江西理工大学理学院 例5 求 . 1 2 2dx a x ∫ + 解 dx a x ∫ + 2 2 1 dx a a x ∫ + = 2 2 2 1 1 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∫ a x d a a x 2 1 1 1 arctan . 1 C a x a = +

江画工太猩院 例6求 x2-8x+25 解 d x2-8x+25 (x-4)+9 y +1 -arctan -+c

江西理工大学理学院 例6 求 . 8 25 1 2 dx x x ∫ − + 解 dx x x ∫ − 8 + 25 1 2 dx x ∫ − + = ( 4) 9 1 2 dx x ∫ ⎟ + ⎠⎞ ⎜⎝⎛ − = 1 3 41 312 2 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ − ⎟ + ⎠⎞ ⎜⎝⎛ − = ∫ 3 4 1 3 41 31 2 x d x . 3 4 arctan 3 1 C x + − =