江西理工大学理学院：《高等数学》第七章 多元函数微分学（7-1）多元函数的基本概念

江画工太猩院 第七章 多元菡数微分学

江西理工大学理学院 第七章 多元函数微分学

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江西理工大学理学院 第一节 多元函数的基本概念

江西理工大学理学院 多元函数的概念 1)邻域 设P(x,y)是xy平面上的一个点,δ是某 一正数,与点P(x,y)距离小于的点P(x,y 的全体,称为点P的邻域,记为U(P,), U(,) ={P|PP,} δ P ={(x,y)(x-x)2+(y-y)2<} 若不强调δ,则U简记UP

江西理工大学理学院 设 ( , ) 0 0 0 P x y 是xoy平面上的一个点，δ 是某 一正数，与点 ( , ) 0 0 0 P x y 距离小于δ 的点P(x, y) 的全体，称为点P0的δ 邻域，记为 ( , ) U P0 δ ， （1）邻域 P0 δ ( , ) U P0 δ = {P | PP0 |< δ } {( , )| ( ) ( ) } . 2 0 2 = x y x − x0 + y − y < δ 一、多元函数的概念 • , ( , ) ( ) 若不强调δ 则U P0 δ 简记U P0

江画工太猩院 (2)区域 设E是平面上的一个点集,P是平面上的 一个点.如果存在点P的某一邻域U(P)cE, 则称P为E的内点.E的内点属于E. 如果点集E的点都是内点, 则称E为开集. 例如,E1={x,)1<x2+p2<4 E 即为开集

江西理工大学理学院 （2）区域 . ( ) 则称 为 的内点 一个点．如果存在点 的某一邻域 ， 设 是平面上的一个点集， 是平面上的 P E P U P E E P ⊂ E 的内点属于 E . E 则称 为开集. •P 如果点集 的点都是内点， E E {( , )1 4} 2 2 例如，E1 = x y < x + y < 即为开集．

江画工太猩院 如果点P的任一个邻域内既有属于E的点, 也有不属于E的点(点P本身可以属于E,也 可以不属于E),则称P为E的边界点 E的边界点的全体称为E的边界. P 设D是开集.如果对于D内 任何两点,都可用折线连结起来,\E 且该折线上的点都属于D,则称 开集D是连通的

江西理工大学理学院 可以不属于 ），则称 为 的边界点． 也有不属于 的点（点 本身可以属于 ，也 如果点 的任一个邻域内既有属于 的点， E P E E P E P E E •P E 的边界点的全体称为 E 的边界． 开集 是连通的． 且该折线上的点都属于 ，则称 任何两点，都可用折线连结起来， 设 是开集．如果对于 内 D D D D • •

江画工太猩院 连通的开集称为区域或开区域 例如,{(x,y)1k<x2+y2<4 开区城连同它的边界一起称为团区城y 例如,{(x,y)1≤x2+y2≤4

江西理工大学理学院 连通的开集称为区域或开区域． {( , )| 1 4}. 2 2 例如， x y < x + y < x y o 开区域连同它的边界一起称为闭区域. {( , )| 1 4}. 2 2 例如， x y ≤ x + y ≤ x y o

江画工太猩院 对于点集E,如果存在正数r,使得 Ec{(x,y)|x2+y20} 无界开区域

江西理工大学理学院 {(x, y)| x + y > 0} 有界闭区域； 无界开区域． x y o 例如， 则称 为有界点集，否则称为无界点集． 对于点集 如果存在正数 ，使得 E E x y x y r E r {( , ) | } , 2 2 2 ⊂ + < {( , )|1 4} 2 2 x y ≤ x + y ≤

江画工太猩院 (3)聚点 设E是平面上的一个点集,P是平面上的 一个点,如果点P的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集E,则称P为E的聚点 说明: 0内点一定是聚点; e边界点可能是聚点; 例{x,y)|0 0<x+y ≤1} (0,0)既是边界点也是聚点

江西理工大学理学院 （3）聚点 设 E 是平面上的一个点集，P 是平面上的 一个点，如果点 P 的任何一个邻域内总有无限 多个点属于点集 E，则称 P 为 E 的聚点. n 内点一定是聚点； 说明： o 边界点可能是聚点； {( , )| 0 1} 2 2 例 x y < x + y ≤ (0,0)既是边界点也是聚点．

江画工太猩院 3点集E的聚点可以属于E,也可以不属于E. 例如,{(x,y)0<x2+y2≤} (0,0是聚点但不属于集合 例如,{(x,y)|x2+y2=} 边界上的点都是聚点也都属于集合

江西理工大学理学院 p 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． {( , )| 0 1} 2 2 例如, x y < x + y ≤ (0,0) 是聚点但不属于集合． {( , )| 1} 2 2 例如, x y x + y = 边界上的点都是聚点也都属于集合．

江画工太猩院 (4)m维空间 设n为取定的一个自然数,我们称n元数组 (x1,x2,…,xn)的全体为n维空间,而每个n元 数组(x1,x2,,xn)称为n维空间中的一个点, 数x称为该点的第i个坐标 说明: 0n维空间的记号为R"; en维空间中两点间距离公式

江西理工大学理学院 （4）n维空间 设n为取定的一个自然数，我们称n元数组 ( , , , ) x1 x2 L xn 的全体为n维空间，而每个n元 数组( , , , ) x1 x2 L xn 称为n维空间中的一个点， 数xi称为该点的第i个坐标. n n维空间的记号为 说明： ;n R o n维空间中两点间距离公式