江西理工大学理学院：《高等数学》第四章 一元函数积分学（4-8）广义积分

江画工太猩院 第8节 广义积分

江西理工大学理学院 第 8 节 广义积分

江西理工大学理学院 一、无穷限的广义积分 例1求曲线y=2,x=1及x轴所围成的 平面区域的面积。 所指区域为无界区域 如图 S= lim SABCD= lim b dx b→+ b→+0012 =lim(1-=1 b→+∞ o 1 bB

江西理工大学理学院 例1 。 x x x y 平面区域的面积 求曲线 , 1及 轴所围成的 12 = = ABCD b S S →+∞ = lim dx xb b ∫ →+∞ = 1 2 1 lim ) 1 lim (1 b b = − →+∞ = 1 所指区域为无界区域 如图 一、无穷限的广义积分

江画工太猩院 定义1设函数f(x)在区间a+o)上连续,取 b>a,如果极限Iim『∫(x)存在,则称此极 b→+0 限为函数f(x)在无穷区间[a,+∞)上的广义积 分,记作厂f(x o f()dx= lim,f(x)d 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散 +0 例中S=

江西理工大学理学院 定义 1 设函数 f (x)在区间[a,+∞)上连续，取 b > a，如果极限 ∫ →+∞ b b a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f (x)在无穷区间[a,+∞)上的广义积 分，记作∫+∞ a f (x)dx. ∫+∞ a f (x)dx ∫ →+∞ = b b a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散. ∫ +∞ = 1 2 1 1 dx x 例 中 S

江画工太猩院 类似地,设函数f(x)在区间(-∞,b上连续,取 a<b,如果极限imf(x)dx存在,则称此极 a→0a 限为函数f(x)在无穷区间(-∞,b上的广义积 分,记作∫(x) f(r) dr=lim f(r)dx a-》0Ja 当极限存在时,称广义积分收敛;当极限不存在 时,称广义积分发散

江西理工大学理学院 类似地，设函数 f (x)在区间(−∞,b]上连续，取 a < b，如果极限 ∫ →−∞ b a a lim f (x)dx存在，则称此极 限为函数 f (x)在无穷区间(−∞,b]上的广义积 分，记作∫−∞b f (x)dx. ∫−∞b f (x)dx ∫ →−∞ = b a a lim f (x)dx 当极限存在时，称广义积分收敛；当极限不存在 时，称广义积分发散

江画工太猩院 设函数f(x)在区间(-,+)上连续,如果 广义积分f(x)x和"f(x)tc都收敛, 则 称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间 (∞+)上的广义积分,记作。f(x)k P+00 f(x)x=」f(x)+f(x)t rb lim f(r)dx+ lim Io f(r)dr a→-0·a 极限存在称广义积分收敛;否则称广义积分发散

江西理工大学理学院 设函数 f ( x)在区间(−∞,+∞)上连续,如果 广义积分∫−∞0 f (x)dx 和∫+∞ 0 f (x)dx 都收敛，则 称上述两广义积分之和为函数 f ( x)在无穷区间 (−∞,+∞)上的广义积分，记作∫+∞−∞ f (x)dx. ∫+∞−∞ f (x)dx ∫−∞ = 0 f (x)dx ∫+∞ + 0 f (x)dx ∫ →−∞ = 0 lim ( ) a a f x dx ∫ →+∞ + b b f x dx 0 lim ( ) 极限存在称广义积分收敛；否则称广义积分发散

观西理工大院 注:1、无穷限的广义积分实质上是任意有限 区间上定积分的极限。 +oo 2、|f(x)d收敛等价于f(x)c 与(x)同时收数。 如果im∫(x)dx存在,」fxdr b→+0J-b° 是否收敛? 否例如: 1+b nc+d2b22」.b m lim(0)=0 b→+J-b

江西理工大学理学院 如果 ∫ →+∞ −b b b lim f (x)dx 存在，∫+∞ −∞ f ( x )dx 是否收敛？ 例如： ∫+∞ −∞ xdx ∫ + →+∞ − = b b b lim xdx b b b x + − →+∞ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ 2 21 lim = lim (0) = 0 b→+∞ 1、无穷限的广义积分实质上是任意有限 区间上定积分的极限。 ∫ +∞ −∞ 2、 f (x)dx 收敛等价于 ∫−∞b f (x)dx ∫ +∞ b 与 f (x)dx 同时收敛。 注： 否

江画工太猩院 而 b m c x= lim -x b→+000 b lim-6=--- 0 b→+a2 xdx发散, +0三 因此"xdt发散。 一00

江西理工大学理学院 xdx b b ∫ + →+∞ 0 lim b b x + →+∞ ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = 0 2 21 lim 而 ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ = →+∞ 2 21 lim b b xdx ∫ +∞ ∴ 0 发散， xdx ∫ +∞ −∞ 因此 发散。 = +∞

江画工太猩院 o arctan 例2计算广义积分 1+x arctan x 解原式=lim →)-00 1+x lim arctan xd arctanx a→- lim(arctan x a→ lim -(arctan →-0

江西理工大学理学院 例2 计算广义积分 . 1 0 arctan 2 dx x x ∫−∞ + dx x x a a∫ + = →−∞ 0 2 1arctan lim ∫ →−∞ = 0 lim arctan arctan a a xd x 0 2 (arctan ) 21 lim a a x →−∞ = 2 (arctan ) 21 lim a a→−∞ = − 8 2 π = − 解 原式

观西理工大院 例3计算广义积分「"n(P>0 解「 te"edt =ltd(e r) b e-pt '+e-ptdt=- p - Di e e 10 -p e 2 2e ps te -p dt= lim te ptt b→+0J0 e r t b→+p ∞c

江西理工大学理学院 例3 计算广义积分 ( 0). 0 > ∫ +∞ − te dt p pt 解 ∫ − b pt te dt 0 ∫ − − = b pt e ) p td( 0 1 ∫ − − + − = b pt b pt e dt p e pt 0 0 1 b pt b pt e p p e p t 0 0 1 1 ⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡ + − − = − − pb pb e p p e p b − − + − − = 2 2 1 1 ∫ +∞ − 0 te dt pt ∫ − →+∞ = b pt b te dt 0 lim ) 1 1 lim ( 2 2 pb pb b e p p e pb − − →+∞ + − − = . 12 p =

江画工太猩院 例4计算广义积分 1+x d x d x 解「 ∞1+x 2-J-01+x 2101+x =m d x t lim a→0n1+x b→)+01+x lim arctan x l'+ lim arctan] b-+0 lim arctan lim arctan b a→-0 b→+0 兀,兀 0 2)2

江西理工大学理学院 例4 计算广义积分 . 1 ∫ 2 +∞ −∞ + x dx 解 ∫+∞−∞ + 2 1 x dx ∫−∞ + = 0 2 1 x dx ∫+∞ + + 0 2 1 x dx ∫ + = →−∞ 0 2 1 1 lima a dx x ∫ + + →+∞ b b dx x 0 2 1 1 lim [ ] 0 lim arctan a a x →−∞ = [ ] b b arctan x 0 lim→+∞ + a a lim arctan →−∞ = − b b lim arctan →+∞ + . 2 2 = π π ⎟ +⎠⎞ ⎜⎝⎛ π = − −