北方工业大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 多维随机变量及其分布

第三章多维随机变量及其布 n(元)维随机变量(向量) 称同一个样本空间Ω上的n个随机变量 X1,X2,…,Xn构成的n维向量(X1,x2,,xn) 为Ω上的n维随机变量(向量) 注:一维随机变量即为上一节介绍的随机变量, 二维及二维以上的随机变量称为多维随机变量

第三章 多维随机变量及其分布 n （元）维随机变量（向量） 称同一个样本空间上的 n 个随机变量 X1，X2，…，Xn 构成的n维向量(X1,X2,…,Xn) 为 上的n维随机变量 (向量)。 注：一维随机变量即为上一节介绍的随机变量， 二维及二维以上的随机变量称为多维随机变量

第3.1节二维随机变量 分布函数 n元实函数 F(xnx2…,x)=P(K≤x1≤x2…,≤x}(x1,x2,…,xn)∈Rn 称为n维随机变量(X,X2,,X)的分布函数。 注意:K1≤xB≤x2…,石≤xn均表示事件, X1≤x1X2≤x2…,X1≤x表示这几个事件同时发生 特别:二维随机向量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)P{X≤x,Y≤y}(x,y)∈R2 或称为X与Y的联合分布函数

分布函数 n元实函数 F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}(x1,x2,…,xn)∈Rn 称为n维随机变量(X1,X2,…,Xn)的分布函数。 特别: 二维随机向量(X,Y)的分布函数为 F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}(x,y)∈R2 注意: X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn 均表示事件, {X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}表示这几个事件同时发生. 或称为X与Y的联合分布函数 第3.1节 二维随机变量

二维联合分布函数区域演示图: y (x,y) Xx,X≤y

X Y x y { , } X≤x Y≤y 二维联合分布函数区域演示图: (x,y)

二维离散型随机变量 1.二维离散型随机变量的概念 如果二维随机变量(X,Y)的全部取值(数对)为有限个或无限 可列个,则称随机变量(X,Y)为离散型的。 易见,二维随机变量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量X与 Y分别都是一维离散型的。 2概率分布及其性质 称p=P{X=x,Y=y,(i,j=1,2,,)为(x,Y)的概率分布(分布律), 其中{(x1,y),i,j=1,2,为(x,Y)的取值集合,表格形式如下: Y yI y y 概率分布性质: p1lP2…p1j 1)p;≥0;i,j1,2, 2 P2p22…P2…(2)∑∑pi;=1; (3)P{(X,Y)∈D} ∑P Pi2 p ij (x2,y)∈D ●● ∑ (4)F(x,y)=∠P xisx,i sy

一、二维离散型随机变量 ⒈二维离散型随机变量的概念 如果二维随机变量（X,Y）的全部取值(数对）为有限个或无限 可列个，则称随机变量（X,Y）为离散型的。 易见，二维随机变量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量 X与 Y 分别都是一维离散型的。 ⒉概率分布及其性质 称pij=P{X=xi,Y=yj},(i,j=1,2,...,)为(X,Y)的概率分布(分布律）, 其中{(xi,yj),i,j=1,2,...}为(X,Y)的取值集合,表格形式如下: X x1 x2 … x i … y1 y2 … y j … p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … … … … … pi1 pi2 … p i j … … … … … … Y (2)∑∑pij = 1; (3)P{(X,Y)∈D } =  x  x y  y ij i j p , 概率分布性质: (1) pij≥0 ;i,j=1,2,… (4)F(x,y)=  x y D ij i j p ( , )

例311将一枚均匀的硬币抛掷4次X表示正面向上的次数,Y表 示反面朝上次数求(X,Y)的概率分布 解X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为0,1,2,3,4, 因为X+Y=4,所以X,Y)概率非零的数值对为 XYP{X=0,Y=4}=0.5=1/16 04 PX=1,Y=3}=C4×0.5×0.5°=1/4 3 PX=2,Y=2}=C4×0.5×0.52=6/16 22 31PX=3,Y=l}3×0.53×0.5=1/x0 234 40P{X=4,Y=0}=0.54=1/16 00001/16 000140 联合概率分布表为: 006/1600 3 01/4000 41/160000

例3.1.1.将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上的次数,Y表 示反面朝上次数,求(X,Y)的概率分布. 解:X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为0,1,2,3,4, 因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为: X Y 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 P{X=0,Y=4}= 1 3 C4 0.50.5 P{X=2,Y=2}= 2 2 2 C4 0.5 0.5 =1/4 =6/16 P{X=3,Y=1}= 3 3 1 C4 0.5 0.5 =1/4 P{X=4,Y=0}= 0.54=1/16 X 0 1 2 3 4 Y 0 1 2 3 4 联合概率分布表为: 0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 0 1/16 0 0 0 0 P{X=1,Y=3}= 0.54=1/16

离散型二维随机向量联合概率分布确定方法 1找出随机变量X和Y的所有取值结果,得到(X,Y)的所 有取值数对 2利用古典概型或概率的性质计算每个数值对的概率; 3列出联合概率分布表

离散型二维随机向量联合概率分布确定方法: 1.找出随机变量X和Y的所有取值结果,得到(X,Y)的所 有取值数对; 2.利用古典概型或概率的性质计算每个数值对的概率; 3.列出联合概率分布表

例31.2.二维随机向量(X,Y)的概率分布为: 0 求:(1)常数a的取值; 0.050.1:0.1 (2)P{X20,Y≤1}; 0.10.2::0.1 (3)P{X≤1,Y≤1 0.2:0.05 解:(1)由∑p1得::=0.1 2)由P{(x,Y)∈D}之P得P(X0,Y≤1}=P(X=0,Y=0}+ (x,y;)∈D P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6 3)P{X≤1,Y≤1}=P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=0,Y=0} +P{X=0,Y=13+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.75

例3.1.2.二维随机向量(X,Y)的概率分布为: X -1 0 1 Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 a 0.2 0.05 求:(1)常数a的取值; (2)P{X≥0,Y≤1}; (3) P{X≤1,Y≤1} 解:(1)由∑pij=1得: a=0.1 (2)由P{(X,Y)∈D } =  x y D ij i j p ( ) , 得 P{X≥0,Y≤1}= P{X=0,Y=0}+ P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.1+0.2+0.1+0.2 =0.6 (3)P{X≤1,Y≤1} =P{X=-1,Y=0}+P{X=-1,Y=1}+P{X=0,Y=0} +P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}=0.75

3、离散型随机变量的边缘分布 边缘分布列(律) 对于离散型随机变量(X,Y),分量X,Y的分布列(律)称为边缘 分布列(律)。 若(X,Y)的概率分布为pPX=x,Y=y)=1,2,…,则 PX=x=P(X=x)∑(Y=y)}(=1,2 ∑PX=x)(=y)=∑PX=x,=}=∑P 同理:P{Y=}=∑m(=12,) 一般地记:PX=x>pPY=y}xp2 分布表如下:

3、离散型随机变量的边缘分布 边缘分布列（律） 对于离散型随机变量(X,Y),分量X,Y的分布列（律）称为边缘 分布列（律）。 若(X,Y)的概率分布为pij=P{X=xi ,Y=yj ),i,j=1,2,...,则 P{X=xi }= =   = j i j P{(X x ) [ (Y y )]} {( ) ( )} j j i = P X = x  Y = y =  = = j i j P{X x ,Y y } =  j ij p (i=1,2,...) 同理: = =  i j pij P{Y y } 一般地,记: P{X=xi } P{Y=yj } (j=1,2,...) 分布表如下: (1) i p (2) pj

xy1y2…y…P2 x1112P1 P x2 P21 P22"'P2j x;PaP2…Pn|P P.;P1P.2P

X Y   . j y y y 1 2 x i xx 21                 i i i jjj p p p p p p p p p 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 p i .  . 2 . 1 . i ppp j p . p . 1 p . 2  p . j 

随机变量的相互独立性 1.定义:称随机变量X,Y相互独立,若对任意的x,y都有 F(x,v)=EX(r)FY() 特别: 随机变量x与是相互独立的台 =pp/2) 离散型 2性质: 若X与Y相互独立,则它们的连续函数g(x)与h(功也相互 独立。 特别有:aX+b与cY+d相互独立

三、随机变量的相互独立性 1.定义:称随机变量X,Y相互独立,若对任意的x,y都有     =  离散型 随机变量 与 是相互独立的 (1) (2) i j i j p p p X Y F(x, y) F (x)F ( y) X Y = 特别: 若X与Y相互独立，则它们的连续函数g(X )与h(Y)也相互 独立。 特别有:aX+b与cY+d相互独立. 2.性质: