广东工业大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第三章 多维随机变量及其分布（2/2）

55随机变量函数的分布 离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布 最大最小值的分布 广东工业大

广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 §5 随机变量函数的分布 一、离散型随机变量函数的分布 二、连续型随机变量函数的分布 三、最大最小值的分布

、离散型随机变量函数的分布 设二维随机变量(X,)的联合分布律为 PiX=xi,r=y,3=pi 求随机变量z=g(X,Y的分布律。 方法:分两步 1、找出Z所有可能的取值; 2、求出Z取每一个可能值的概率是多大 广东工业大

广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 一、离散型随机变量函数的分布 方法：分两步 1、找出Z所有可能的取值； 2、求出Z取每一个可能值的概率是多大。 设二维随机变量 (X,Y ) 的联合分布律为 i j pij P{X = x ,Y = y } = 求随机变量 Z = g(X,Y) 的分布律

例1设随机变量X1,X2,X3相互独立且都服从参数为的0-1 XX 分布,已知矩阵 为正定矩阵的概率为18,求 2 XX (1)参数p的值;(2)随机变量Y 的分布律 2 3 广东工业大

广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 例1 设随机变量 X1 , X2 , X3 相互独立且都服从参数为p的 0 −1       2 3 1 2 X X X X 分布，已知矩阵 为正定矩阵的概率为1/8，求 （1）参数p的值； （2）随机变量 的分布律。 2 3 1 2 X X X X Y =

例2设X与Y相互独立且X~P(41,Y~P() 求Z=分布律。 广东工业大

广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 例2 设X与Y相互独立,且 ~ ( ), ~ ( ) X P 1 Y P 2 求 Z = X 的分布律。 +Y

二、连续型随机变量函数的分布 设二维随机变量(X,)的联合密度为f(x,y), 求随机变量z=g(X,Y的概率密度 方法:分布函数法 先求分布函数,再求概率密度。 随机变量z的分布函数为 F2(xz)=P[z≤=P{g(X,1)s攻 ∫(x,y)dxdy g(x,y)≤z 随机变量z的密度函数为 fz(z) dF,(z) dz 广东工业大

广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 二、连续型随机变量函数的分布 设二维随机变量 (X,Y ) 的联合密度为 f (x, y) ， 求随机变量 Z = g(X,Y) 的概率密度。 方法： 分布函数法 先求分布函数，再求概率密度。 F (z) P{Z z} Z =  = P{g(X,Y)  z}   = g x y z f x y dxdy ( , ) ( , ) dz dF z f z Z Z ( ) ( ) = 随机变量Z的分布函数为 随机变量Z的密度函数为

例1设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为 20 (x+2y) x>0,y>0 f(x,y) 其它 令z=X+2Y求z的分布函数及密度函数。 广东工业大

广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 (X,Y )      = − + 0 其它 2 0, 0 ( , ) ( 2 ) e x y f x y x y Z = X + 2Y. 例1 设二维随机变量 的联合概率密度函数为 令 求Z的分布函数及密度函数

例2设二维随机变量(X,的密度函数为 2-x-y,02Y};(2)求z=X+Y的概率密度

广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 例2 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为    − −     = 0, 其 它 2 , 0 1,0 1 ( , ) x y x y f x y （1） 求 P{X  2Y} ； （2） 求 Z = X +Y 的概率密度。 （2007）

例3设二维随机变量(X,Y的概率密度函数为 「10<x<1,0<y<2x f(x,y) 0 其它 求:(D(X,Y)的边缘概率密度∫x(x),fr(y) (I)Z=2X-Y的概率密度∫z(z) (2005)

广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 例3 设二维随机变量 (X,Y ) 的概率密度函数为        = 0 其它 1 0 1,0 2 ( , ) x y x f x y 求:(I) (X,Y ) 的边缘概率密度 f (x), f ( y). X Y (II) Z = 2X −Y 的概率密度 f (z). Z (2005) 1 2 x y O

例4设XY相互独立,且均服从标准正态分布,求Z=X+Y 的概率密度。 结论: 1、若X~N(0,1),Y~N(0,1)且X与Y相互独立,则 X+Y~N(,2) 2、若X~Nx1,12,Y~N(2,a2)且与Y相互独立,则 X+Y~N(A1+凸2G1+σ2 3若X~N(,)(i=1,2,…,m),且X相互独立,则 ∑X~NC∑A,∑2),∑aX1~N∑A,∑a) 东工业大学

广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 例4 设X与Y相互独立，且均服从标准正态分布，求 Z = X +Y 的概率密度。 1、若 X ~ N(0,1),Y ~ N(0,1) 且X与Y相互独立，则 结论： X +Y ~ N(0,2) 2、若 ~ ( , ), ~ ( , ) 且X与Y相互独立，则 2 2 2 2 X N 1  1 Y N   ~ ( , ) 2 2 2 X +Y N 1 + 2  1 + ~ ( , ), 1 2 1 1    = = = n i i n i i n i Xi N   3、若 ~ ( , )( 1,2, , ), 且 相互独立，则 2 Xi N i  i i =  n Xi ~ ( , ) 1 2 2 1 1    = = = n i i i n i i i n i ai Xi N a  a 

例5在一简单电路中,两电阻R和R联连接,设R与R2相互独 目立,它们的概率密度均为 10-x f(x)=)50,0≤x≤10 0. 其它 求总电阻R=R1+R2的概率密度。 广东工业大

广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 例5 在一简单电路中，两电阻 和 串联连接，设 与 相互独 立，它们的概率密度均为 R1 R2 R1 R2       − = 0, 其它 , 0 10 50 10 ( ) x x f x 求总电阻 R = R1 + R2 的概率密度