广东工业大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第五章 大数定律与中心极限定理

第五章大数定律与中心极限定理 §1大数定理 §2中心极限定理 广东工业大

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51大数定律 广东工业大

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向题的提出 1、频率的稳定性 算术平均值的稳定性 二、依概率收敛 1、定义 设Y1,H2,…,Yn,…是一个随机变量序列,a是一个常数。 若对任意s>0,有 limPlY, -aka=1 ot imPin-ap8=0 n→0 则称随机变量序列H1,2;…,Yn,依概率收敛于a。记为 Y->a 广东工业大

广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 一、问题的提出 1、频率的稳定性 2、算术平均值的稳定性 二、依概率收敛 设 Y1 ,Y2 ,  ,Yn ,  是一个随机变量序列，a 是一个常数。 若对任意   0 ，有 lim {| − | } = 1 → P Y a  n n lim {| − | } = 0 → P Y a  n 或 n 则称随机变量序列 Y1 ,Y2 ,  ,Yn ,  依概率收敛于a。记为 Y a P n ⎯→ 1、定义

2、依概率收敛的性质 设Xn-)a,Yn—->b,且g(x,y)在点(x,y)连续,则 g(xm,Y-g(a,b) 3、大数定律的概念 设X1,X2,…,Xn,…是一个随机变量序列,记 X1+X2+…+X, ∑ n 若存在常数序列a1,2…n,,使得对任意ε>0,都有 lim Pnn-ank8=1 n→0 则称随机变量序列X1,X2,…,Xn,…服从大数定律(大数法则)

广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 2、依概率收敛的性质 设 X a, ，且 在点 连续，则 P n ⎯→ Y b P n ⎯→ g(x, y) (x, y) g(X ,Y ) g(a,b) P n n ⎯→ 3、大数定律的概念 设 X1 , X2 ,  , Xn ,  是一个随机变量序列，记 n X X X Y n n + + + = 1 2  = = n i Xi n 1 1 若存在常数序列 a1 ,a2 ,  ,an ,  ，使得对任意   0 ，都有 lim {| − | } = 1 →  n n n P Y a 则称随机变量序列X1 , X2 ,  , Xn ,  服从大数定律(大数法则)

三、切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望EX=,方差DX=a2 则对任意正数6,有 Pix-u28,s-2 或P{X-|ke}>1- 广东工业大

广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 三、切比雪夫不等式 设随机变量X具有数学期望 EX =  ，方差 。 2 DX =  则对任意正数  ，有 2 2 {| | }   P X −     2 2 {| | } 1   或 P X −     −

例1假设一批种子的良种率为1/6,从中任意选出600粒,试计 算这600粒种子中良种所占比例与1/6之差的绝对值不超过002 的概率

广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 例1 假设一批种子的良种率为1/6，从中任意选出600粒，试计 算这600粒种子中良种所占比例与 1/6之差的绝对值不超过0.02 的概率

例1假设一批种子的良种率为1/6,从中任意选出600粒,试计 算这600粒种子中良种所占比例与1/6之差的绝对值不超过002 的概率 解:设X表示600粒种子中的良种数,则有X~B(600,6 于是EX=600×1=100D(X)=600 15250 白契比雪夫不等式,有 6006002}=PX-100112}≥1D(X)=04213 X 1 12

广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 例1 假设一批种子的良种率为1/6，从中任意选出600粒，试计 算这600粒种子中良种所占比例与 1/6之差的绝对值不超过0.02 的概率。 解：设X表示600粒种子中的良种数，则有 X ~ B(600,1/ 6) 于是 100 6 1 EX = 600 = 3 250 6 5 6 1 D(X) = 600  = | 0.02} 6 1 600 {| −  X P = P{| X −100 | 12} 2 12 ( ) 1 D X  − = 0.4213 由契比雪夫不等式，有

例2(01)设X的方差为2,则根据切比雪夫不等式有估计 P{X-EX|2}≤

广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 例2(01) 设X的方差为2,则根据切比雪夫不等式有估计 P{| X − EX | 2} 

四、大数定律 1、切比雪夫大数定律 设随机变量X1,X2,…,X,相互独立,方差DX都存在 并且它们有公共上界,即DX10, 都有 limPI-2X EX:}=1 n→0 或limP{ ∑X-∑EX1≥e}=0 n→ 意义:在定理的条件下,n个随机变量的算术平均, 当n无限增加时将几乎变成一个常数

广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 | } 1 1 1 lim {| 1 1  −   = = = →  n i i n i i n EX n X n P | } 0 1 1 lim {| 1 1  −   = = = →  n i i n i i n EX n X n P 1、切比雪夫大数定律 DX c, 并且它们有公共上界，即 i  i = 1,2,  . 则对任意   0, 设随机变量 X1 , X2 ,  , Xn ,  相互独立，方差 DXi 都存在， 都有 或 意义: 在定理的条件下，n个随机变量的算术平均， 当n无限增加时将几乎变成一个常数。 四、大数定律

2、切比雪夫大数定律的特殊情况 设随机变量X1,X2…,Xn,…相互独立,且具有相同的 数学期望和方差 E(Xk)=,D(XA)=a2(k=1,2,) 记X=∑X,则对任意E>0,有 iPX-ka}=imP∑X1-Hke} n→0 n 或imP1x-≥l}=lmP1∑x-2a 广东工业大

广 东 工 业 大 学 上页 下页 返回 2、切比雪夫大数定律的特殊情况 设随机变量 X1 , X2 ,  , Xn ,  相互独立，且具有相同的 数学期望和方差： ( ) = , E Xk 2 D(Xk ) =  (k = 1,2, ) 记 , 1 1 = = n i Xi n X 则对任意   0, 有 lim {| −  |  } → P X n | } 1 1 lim {| 1 =  −  = = →   n i i n X n P lim {| −  |  } → P X n | } 0 1 lim {| 1 =  −  = = →   n i i n X n 或 P