同济大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第二单元 二重积分的计算

第二单元 二重积分的计算

第二单元 二重积分的计算

本单元的内容要点 1直角坐标下二重积分的计算 2极坐标下二重积分的计算; e3.二重积分的换元法

一、本单元的内容要点 1.直角坐标下二重积分的计算； 2.极坐标下二重积分的计算； 3.二重积分的换元法

本单元的教学要求 掌握二重积分在各种巫标下的积分方法

二、本单元的教学要求 掌握二重积分在各种坐标下的积分方法

利用直角坐标计算二重积分 利用直角坐标计算二重积分的关键是将二重积分化为 二次积分。 由二重积分的几何意义知:当∫(x,y)>0时,二重积分 表示为曲顶柱体的体积。若立体在xoy平面上的投影为 D,则由平行截面面积为以知的体积计算公式,得 V= A(x)ds

利用直角坐标计算二重积分 利用直角坐标计算二重积分的关键是将二重积分化为 二次积分。 由二重积分的几何意义知：当 f (x, y)>0 时，二重积分 表示为曲顶柱体的体积。若立体在xoy平面上的投影为 D，则由平行截面面积为以知的体积计算公式，得 ( ) , b a V A = x dx ∫

其中anb为区域D在x轴上投影的左、右端点,而A(x)为 过x而垂直于x轴的平面与立体的截面。而截面面积为 f(x, y)dy 从而 b b 2(x) V= A(xdx= dx f(r, y)dy Jo(x)

其中a,b为区域D在x轴上投影的左、右端点，而A(x)为 过x而垂直于x轴的平面与立体的截面。而截面面积为 2 1 ( ) () ( ) ( , ) , x x A x f x y dy ϕ ϕ = ∫ 从而 2 1 ( ) () ( ) ( , ) . b b x a a x V A x dx dx f x y dy ϕ ϕ = = ∫ ∫ ∫

1先后x的积分 在上面的讨论中,看到一个二重积分可以化为二次积 分,一般情况如何? 设区域D满足如下条件:过区域D的内部而平行于y轴 的直线与D的边界至多只有两个交点。这样的区域称为 X型区域。非x型区域可以转化成 若干个x型区域的并,故只需讨论 x型区域的积分问题。如图是一个 x型区域

1.先y后x的积分 在上面的讨论中，看到一个二重积分可以化为二次积 分，一般情况如何？ 设区域D满足如下条件：过区域D的内部而平行于y轴 的直线与D的边界至多只有两个交点。这样的区域称为 X型区域。非x型区域可以转化成 若干个x型区域的并，故只需讨论 x型区域的积分问题。如图是一个 x型区域. y x o D

而下图的区域是非型区域,但可以划分成三个x型区 域 D D D

而下图的区域是非x型区域，但可以划分成三个x型区 域。 y D D1 D2 D3 o x

4积分方法:1.将区域投影至x轴,得区间{a,b; 2以x=a,xC=b将区域的边界分割成曲线=q1(x),y=a2x); 02(x) f(x, y)do= dx f(x, y)dy q1(x) D y y=lr D y=o) o a

积分方法：1.将区域投影至x轴，得区间[a, b]; 2.以x=a, x=b将区域的边界分割成曲线y=ϕ1(x), y=ϕ2(x); 则 y x o D a b y= ϕ1(x) y=ϕ2(x) 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) . b x a x D f x y d dx f x y dy ϕ ϕ σ = ∫∫ ∫ ∫

2先x后y的积分 同理,将区域投影至y轴上,得区间c,d,以及左、 右曲线x(y),x=2(y),则 d n2(x) f(x, y)do= dy f(x, y) ax (x) ↑y D x=p2()

2.先x后y的积分 同理，将区域投影至y轴上，得区间[c, d]，以及左、 右曲线x=φ1(y)，x=φ2(y)，则 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) . d x c x D f x y d dy f x y dx φφ σ = ∫∫ ∫ ∫ y x o D c d x= φ1(y) x= φ 2(y)

例化下列积分为两个二次积分。 ∫(x,ylbD=(xy) asxsb,csy≤d 解如图所示,区间为|a,b],左、右曲线为y=c,y=d, 故 f(,ydo=dx[ f(x, y)d) dyl f(x, y)dx

例 化下列积分为两个二次积分。 1. ( , ) {( , ) , }. D f x y dxdy D = ≤ x y a x ≤ b c ≤ y ≤ d ∫∫ 解 如图所示，区间为[a, b]，左、右曲线为y=c，y=d， 故： ( , ) ( , ) ( , ) b d a c D d b c a f x y d dx f x y dy dy f x y dx σ = = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ x y o a b c d