同济大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第二单元 幂级数

第二单元 幂级数

第二单元 幂级数

本单元的内容要点 本单元要点: 1.幂级数及收敛性; 2收敛半径的求法; 3幂级数的运算; 4函数展开成幂级数 5展开式的应用

一、本单元的内容要点 本单元要点: 1.幂级数及收敛性; 2.收敛半径的求法; 3.幂级数的运算; 4.函数展开成幂级数 5.展开式的应用

幂级数及收敛性 设ux)(=1,2,…)均为区间/上的函数,表达式 ∑n(x)=4(x)+l(x)+…+(x)+ 称为函数无穷项级数。若x0∈l,且 ∑n(x)=a4(x)+2(x)+…+u1(x)+ ● 收敛,则称x0为收敛点;由收敛点构成的集合称为收敛 域。在收敛域上得到收敛函数,称为和函数

幂级数及收敛性 设 ui (x)( i=1,2, … )均为区间 I上的函数，表达式 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n u x u x u x u x ∞ = ∑ = + +" " + + 称为函数无穷项级数。若 x 0 ∈ I，且 0 1 0 2 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n u x u x u x u x ∞ = ∑ = + +" " + + 收敛，则称 x 0为收敛点；由收敛点构成的集合称为收敛 域。在收敛域上得到收敛函数，称为和函数

特殊地,把形如 ∑an( a +)(x 1 +a1,(x e的函数项级数叫做(xx)的幂级数。当x=0时,上式为 a1x+a2x+……+anx+ 0 对(1)式,作变换仁xx,即得(2)式,故本节主要讨论 (2)的收敛性

特殊地，把形如 的函数项级数叫做(x-x0)的幂级数。当x0=0时，上式为 2 0 0 1 0 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n a x x a a x x a x x a x x ∞ = − = + − + − + + − + ∑ " " ( 1 ) 2 0 1 2 0 . n n n n n a x a a x a x a x ∞ = ∑ = + + +" " + + ( 2 ) 对(1)式，作变换t= x-x0 ，即得(2)式，故本节主要讨论 (2)的收敛性

例1幂级数 =1+x+x2+…+x 由等比级数的收敛性,易知当x<1时,级数收敛,故收 敛域为区间(-1,1)。和函数为 ∑x=1+x+x2+…+x+

例1 幂级数 2 1 1 n n n x x x x ∞ = ∑ = + + +" " + + 由等比级数的收敛性，易知当|x|<1时，级数收敛，故收 敛域为区间(-1, 1)。和函数为 1 . 1 − x 即 2 1 1 1 . 1 n n n x x x x x ∞ = = = + + + + + − ∑ "

幂级数收敛域的结构 设幂级数 +a1x+a2x+…+anX+ n=0 则幂级数在z=处收敛,即收敛域非空。当x≠0时,有如 下的定理

幂级数收敛域的结构 设幂级数 2 0 1 2 0 . n n n n n a x a a x a x a x ∞ = ∑ = + + +" " + + 则幂级数在z=0处收敛，即收敛域非空。当 x ≠ 0时，有如 下的定理

4定理阿贝尔)如果幂级数(2)在x=x处收敛,则当 x0,满足 <M,(n=012

定理(阿贝尔) 如果幂级数 在x=x0处收敛，则当 |x|0，满足 0 lim 0 n n n a x →∞ = ( 0 ) 0 n n n a x ∞= 0 , ( 0,1,2, ) n n a x < = M n

4由此得到,当x<xo时,有 M 而等比级数∑M_收敛,→级数 n=0 ∑ anx =ao + a x +,tanx t n=0 绝对收敛。 反之,若级数∑ax发散,则当xx时,若∑anx

由此得到，当|x|<| x 0|时，有 0 0 0 0 0 n n n n n n n n n n n n x x x a x a x a x M x x x = = ≤ 而等比级数 收敛， ⇒级数 0 0 n n n x M x ∞ = ∑ 2 0 1 2 0 . n n n n n a x a a x a x a x ∞ = ∑ = + + +" " + + 绝对收敛。 反之，若级数 发散，则当|x|<| x 0 0 |时，若 0 n n n a x ∞ = ∑ 0 n n n a x ∞ = ∑

则由前面所证,→∑a1x收敛,这和已知的矛盾 故∑anx”发散。 由此定理,得幂级数的收敛域有如下特征:收敛域从 原点开始向两端扩张,初始时遇到的均为收敛点,在某 o一时刻,遇到发散点,以后的所有点均发散。 发散

则由前面所证，⇒ 收敛，这和已知的矛盾。 故 发散。 0 0 n n n a x ∞ = ∑ 0 n n n a x ∞ = ∑ g 由此定理，得幂级数的收敛域有如下特征：收敛域从 原点开始向两端扩张，初始时遇到的均为收敛点，在某 一时刻，遇到发散点，以后的所有点均发散。 发散 收敛

由定理得到如下的推论: 推论当幂级数(2)的收敛域K不是单点集时 1)如果K是有界集,则必定有一个确定的正数R,当 kxR时,幂级数发散 (2)如果K是无界集,则K=(-∞,∞)。 注这样的R称为幂级数的收敛半径。 例幂级数∑x"的收敛半径为1。 n=1

由定理得到如下的推论： 推论 当幂级数(2)的收敛域 K不是单点集时， (1)如果 K是有界集，则必定有一个确定的正数 R，当 |x|R时，幂级数发散； (2)如果 K是无界集，则K=(- ∞ , ∞ ) 。 注 这样的 R称为幂级数的收敛半径。 例 幂级数 的收敛半径为 1 。 1 n n x ∞ = ∑