同济大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第一单元 不定积分的概念与性质 基本积分法

第一单元 不定积分的概念与性质基本积分法

第一单元 不定积分的概念与性质 基本积分法

本单元内容要点 原函数的概念,不定积分的概念与基本性质基本积分 公式第一类换元积分法,第二类换元积分法分部积分法

本单元内容要点 原函数的概念, 不定积分的概念与基本性质,基本积分 公式,第一类换元积分法, 第二类换元积分法.分部积分法

本单元教学要求 1理解原函数的概念,理解不定积分的概念掌握不定积分 的基本性质 2掌握不定积分的基本公式,掌握换元积分法与分部积分 法

本单元教学要求 1.理解原函数的概念,理解不定积分的概念,掌握不定积分 的基本性质. 2.掌握不定积分的基本公式, 掌握换元积分法与分部积分 法

本单元教学的重点与难点 重点:不定积分的基本公式,换元积分法与分部积分法 难点:第一类换元积分法(凑微分法) 课时数8学时

本单元教学的重点与难点 重点: 不定积分的基本公式, 换元积分法与分部积分法. 难点:第一类换元积分法 (凑微分法) 课时数:8学时

不定积分的概念与性质 1原函数 在第二章中曾提出已知F(x)求F(x)=f(x)的求导 e问题,而现在的问题是f(x)知求满足F(x)=f(x)的 F(x).这类问题就是求原函数

一、不定积分的概念与性质 1.原函数 在第二章中曾提出已知 求 的求导 问题，而现在的问题是 已知,求满足 的 ．这类问题就是求原函数． F( ) x F′( ) x f = ( ) x f x( ) F′( ) x f = ( ) x F( ) x

定义1如果在区间/上的可导函数F(x)的导函数为 f(x),即对任一x∈l,都有 F(x)=f(x)减成dF(x)=f(x)d) 则称函数F(x)为f(x)在区间/上的一个原函数 例1函数inx的一个原函数为coSx,这是因为 COSX sinx 又如, InIx+v1+x x

定义1 如果在区间 上的可导函数 的导函数为 ，即对任一 ，都有 F( ) x f x( ) x I ∈ I F x ′( ) = = f ( x d ) ( (或 F x) f ( x d) x), 则称函数 F( ) x 为 f x( )在区间I上的一个原函数． 例1 函数sin x 的一个原函数为−cos x ，这是因为 ( ) cos x x sin . ′ − = ( ) 2 2 1 ln 1 , 1 x x x ′ ⎡ ⎤ + + = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ + 又如

故 的原函数为ln(x+√1+x x 我们知道,对函数而言,如果导函数存在的话,导函 数是唯一的,但某个函数的原函数是否唯一呢?为此, 先引入

故， 的原函数为 ( ) 2 ln x x + +1 . 2 1 1+ x 我们知道，对函数而言，如果导函数存在的话，导函 数是唯一的，但某个函数的原函数是否唯一呢？为此， 先引入：

原函数存在定理如果函数f(x)在区间上连续则在区 间上存在可导函数F(x)使得对任一x∈b都有 F(x)=f(x) 即连续函数一定有原函数存在 唯一性定理如果F(x)是f(x)的原函数则F(x)+C 也是f(x)的原函数其中C为任意常数;并且f(x)的 原函数一定可写成F(x)+C的形式

F′( ) x f = ( ) x , 原函数存在定理 如果函数 在区间 上连续,则在区 间 上存在可导函数 ，使得对任一 ，都有 f x( ) I I F( ) x x I ∈ 即连续函数一定有原函数存在． 唯一性定理 如果 是 的原函数,则 也是 的原函数.其中 为任意常数；并且 的 原函数一定可写成 的形式． F( ) x f x( ) F( ) x C+ f x( ) C f x( ) F( ) x C+

2不定积分 由上面的讨论,可得到如下定义: 定义2在区间Ⅰ上,函数f(x)的带有任意常数的原函数 c称为/(x在区间/上的原函数,记作 f(xdx 即(x)x=F(x)+C,其中Fx)是/(x)的原函数

2.不定积分 由上面的讨论，可得到如下定义： 定义2 在区间 上，函数 的带有任意常数的原函数 称为 在区间 上的原函数，记作 I f x( ) f x( ) I f x( )dx. ∫ f x( )dx = F ( x) + C 即∫ ，其中F( ) x 是 f x( ) 的原函数

例2由定义,不难得到下面的: =3x2,→x2ax=x3+C, e(l)=,→」d=hm刚+C x e(sin x)=cosx,=cos xdx=sinx+C, arctan dx=arctan +C 1+x 1+x

例2 由定义，不难得到下面的： ( ) 3 2 2 1 3 3 , , 3 xxx dx x C ′ = ⇒ = + ∫ ( ) 1 1 ln x d , x ln x dx C, x x ′ = ⇒ = + ∫ ( ) sin x x cos , cos xdx sin x C, ′ = ⇒ = + ∫ ( ) 2 2 1 1 arctan , arctan . 1 1 x dx x C x x ′ = ⇒ = + + + ∫