同济大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第一单元 重积分的概念和性质

第一单元 重积分的概念和性质

第一单元 重积分的概念和性质

本单元的内容要点 重积分概念的引入,基本性质

一、本单元的内容要点 重积分概念的引入，基本性质

本单元的教学要求 掌握重积分的概念和基本性质。 教学时数:2课时

二、本单元的教学要求 掌握重积分的概念和基本性质。 教学时数： 2课时

重积分的概念 在《微积分》上册中,我们知道:区间[a,b上函数 ∫(x,y)的定积分为: L.f(x)dx=lim E/(:)Ax, 其几何意义为曲边梯形的面积 y-f(r) s=I f(x)dx

重积分的概念 在《微积分》上册中，我们知道：区间[a, b]上函数 f (x, y)的定积分为： 0 1 ( ) lim ( ) . b i i a i f x dx f x λ ξ ∞ → = = Σ ∆ ∫ a b o x y 其几何意义为曲边梯形的面积。 y=f (x) D ( ) . b a S f = x dx ∫

引例1曲顶柱体的体积 曲顶柱体底面为平面的有界闭区域,侧面垂直于该 底面,顶面为一曲面。 设曲顶柱体在xoy平面上所占区域 zf(, y) o为D,顶面方程为zJ(xy) (1)分割用曲线网将D分割成若干 小区域AD;,其面积记为Aa;1,2

引例1 曲顶柱体的体积 曲顶柱体 底面为平面的有界闭区域，侧面垂直于该 底面，顶面为一曲面。 设曲顶柱体在xoy平面上所占区域 为D，顶面方程为z=f (x,y)。 (1)分割 用曲线网将D分割成若干 小区域∆Di，其面积记为∆σi；i=1,2, … ,n。 z=f (x, y) y z o x

(2)取点在区域AD中任取一点(5m),当AD很小时, 用柱体体积近似曲顶柱体的体积: △v1≈f(51,) 所以,总体积为 Σf(51,n) zf(, y) (3)取极限记 d(AD)=maxM,MM, M,eD) d(∠D)表示区域AD的直径

(2)取点 在区域∆Di中任取一点 (ξi, ηi)，当∆Di很小时， 用柱体体积近似曲顶柱体的体积： ( , ) i i i ∆v f ≈ ξ η 所以，总体积为 z=f (x, y) y z o x 1 1 ( , ) n n i i i i i i v v f ξ η σ = = = Σ ≈ Σ ∆ (3)取极限 记 ( ) max{ , }, i j k j k i d D∆ = M M M M ∈D d (∆Di)表示区域∆Di的直径

记=max{d(△AD),则 =lim∑/(5,n)△a

记 ， λ = ∆ max {d D ( i) } 则 0 1 li m ( , ) . n i i i i v f λ ξ η σ → = = ∑ ∆

引例2平面薄片的质量 设一平面薄片占有xoy平面区域D,密度函数为 (x, y) (1)分割用曲线网将D分割成若干小区域AD,其面积记 为AG;i=1,2,,n (5,n1) ()取点在区域AD中任取一点(5m), 当展小时,平面薄片视为是均匀的, 因而小片质量为 △M1≈p(2m)1

引例2 平面薄片的质量 x y o △Di ( , ) i i ξ η (2)取点 在区域∆Di中任取一点 (ξi, ηi)， 当∆Di很小时，平面薄片视为是均匀的， 因而小片质量为 ( , ) , Mi i i i 设一平面薄片占有xoy平面区域D，密度函数为ρ (x,y)， (1)分割 用曲线网将D分割成若干小区域∆Di，其面积记 为∆σi；i=1,2,…,n。 ∆ ≈ ∆ ρ ξ η σ

故薄片质量为 M=∑△M≈∑p(5,m)△o i=1 )取极限记MD)=mxM|MM∈Dh d(△AD)表示区域AD的直径。 记=max{d(△D,则 M=Iim∑(5,m)a

故薄片质量为 1 1 ( , ) , n n i i i i i i M M ρ ξ η σ = = = ∆ ∑ ∑≈ ∆ ( ) max{ , }, i j k j k i (3)取极限 记 d D∆ = M M M M ∈D d (∆Di)表示区域∆Di的直径。 记 ， λ = ∆ max{d D ( i)} 则 0 1 lim ( , ) . n i i i i M λ ρ ξ η σ → = = ∑ ∆

二重积分的定义 在上面的两个例中,我们看到问题最终归结为极限 im∑f(2,n), 心抽去例中具体的几何和物理意义,我们得到二重积分的 定义

二重积分的定义 在上面的两个例中，我们看到问题最终归结为极限 0 1 lim ( , ) , n i i i i f λ ξ η σ → = ∑ ∆ 抽去例中具体的几何和物理意义，我们得到二重积分的 定义