同济大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第五章 定积分

第五章定积分

第五章 定积分

第一单元定积分

第一单元 定积分

本单元内容要点 定积分的概念,性质;积分上限函数;微积分基本公 式

本单元内容要点 定积分的概念，性质；积分上限函数；微积分基本公 式．

本单元教学要求 理解定积分的定义和实质;熟悉定积分的性质;理解 积分上限函数的实质;掌握牛顿、莱拨尼茨公式

本单元教学要求 理解定积分的定义和实质；熟悉定积分的性质；理解 积分上限函数的实质；掌握牛顿、莱拨尼茨公式．

本单元教学重点和难点 重点: 定积分的概念;积分中值定理;积分上限函数;微积分 基本公式 难点 定积分的概念;积分上限函数及性质;微积分基本定理 本单元课时数:4课时

本单元教学重点和难点 重点： 定积分的概念；积分中值定理；积分上限函数；微积分 基本公式． 难点： 定积分的概念；积分上限函数及性质；微积分基本定理． 本单元课时数： 4课时．

定积分的概念与性质 定积分问题举例 1曲边梯形面积 设y=f(x)在区间上非 y=f(x) 负、连续,由直线及曲线 x=a,y=b,y=0,y=f(x) 所围成的图形称为曲边梯 形 i-1

一、定积分的概念与性质 定积分问题举例 1.曲边梯形面积 y f = ( ) x a =x 0 xi-1 xi x n = b ξi x o y 设 在区间上非 负、连续，由直线及曲线 y f = ( ) x x a = , , y === b y 0, y f ( x ), 所围成的图形称为曲边梯 形．

为计算该图形的面积,在区间[ab中插入n-1个分点 <x,<…<x.,<X.=b 从而把区间|ab分成n个小区间 [x,x][x1,x2…x21,x 相应的长度依次为 y=f(x) 在由x=x21,x=x1,y=0,及 y=f(x)围成的小曲边梯形 的面积的近似值为

为计算该图形的面积，在区间 [ a, b ]中插入 n-1个分点 0 1 1 , n n a x x x x b = < < " < − < = 从而把区间 [a, b ]分成 n个小区间 y f = ( ) x a =x 0 xi-1 xi x n = b ξi x o y [ 0 1 , ,] [ 1, 2 ] [ , 1, ], n n x x x x x x " − 相应的长度依次为 1 ( 1, 2, , ), i i i x x x i n ∆ = − − = " 在由 及 围成的小曲边梯形 的面积的近似值为 1, , 0, i i x x x x y = = − = y f = ( x )

△A,f(5)x, 其中5为区间[x1,x]中的任意点.由此,以n个小 矩形的面积作为曲边梯形面积的近似值,则有 A≈∑f(5)△x 记=max{x1,Ax,…Axn},则得面积为 A=lim∑f()Ax

( ) , Ai i i ∆ ≈ ∆ f x ξ 其中 为区间 中的任意点．由此，以n个小 矩形的面积作为曲边梯形面积的近似值，则有 i ξ [ x x i i −1, ] ( ) 1 , n i i i A f x ξ = ≈ ∑ ∆ 记λ = ∆ max{ x x 1 2 ,∆ ,"∆xn}, 则得面积为 ( ) 0 1 lim . n i i i A f x λ ξ → = = ∑ ∆

2变速直线运动的路程 设某物体作直线运动,已知速度v=v()是时间间隔 ITpT2l上t的连续函数,且v()≥0,计算在这段时间 内物体所走过的路程 我们知道,在匀速直线运动中,路程为 路程=速度×时间 而对于非匀速直线运动中,我们将时间区间分割成若干 个小区间,即在区间[T,T2中插入分点

2.变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度 是时间间隔 [T1, T2]上 的连续函数，且 计算在这段时间 内物体所走过的路程． v v = (t) t v t( ) ≥ 0, 我们知道，在匀速直线运动中，路程为 路程=速度×时间． 而对于非匀速直线运动中，我们将时间区间分割成若干 个小区间，即在区间[T1, T2]中插入分点

7=t0<41<…<tn=1<tn=72 从而把[T1,T2分成n个小段 n-19n 各小段的长度依次为 A=1-1(t=1,2,…,n) 在各小段上物体走完的路程分别为 △S,△ 在每一个小区间,l上,物体走过的路程近似为

1 0 1 1 2 , T t n n = < < t "< t − < t = T 从而把[T1, T2]分成n个小段 [ 0 1 , ,] [ 1, 2 ] [ , 1, ], n n t t t t t t " − 各小段的长度依次为 1 ( 1,2, , ), i i i t t t i n ∆ = − − = " 在各小段上物体走完的路程分别为 1 2 , , , n ∆s ∆ ∆ s s " 在每一个小区间[ti-1, tt]上，物体走过的路程近似为