同济大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第一单元 曲线积分

第一单元 曲线积分

第一单元 曲线积分

本单元的内容要点 1第一类曲线积分的概念,性质; 2第一类曲线积分的计算方法; 3第二类曲线积分的概念,性质; 4第二类曲线积分的计算方法 5两类积分的联系

一、本单元的内容要点 1.第一类曲线积分的概念，性质； 2.第一类曲线积分的计算方法; 3.第二类曲线积分的概念，性质； 4.第二类曲线积分的计算方法； 5.两类积分的联系

本单元的教学要求 掌握两类曲线积分的概念,性质,积分方法,尤其是 第二类曲线积分的性质、物理意义及计算方法

二、本单元的教学要求 掌握两类曲线积分的概念，性质，积分方法，尤其是 第二类曲线积分的性质、物理意义及计算方法

本单元教学的重点与难点 重点: 1第一类曲线积分的计算 2第二类曲线积分的定义和物理意义; o3第二类曲线积分的计算方法 4两类曲线积分的联系

三、本单元教学的重点与难点 重点： 1.第一类曲线积分的计算； 2.第二类曲线积分的定义和物理意义； 3.第二类曲线积分的计算方法 4.两类曲线积分的联系

难点:本单元的难点是第二类曲线积分的定义和相应的 物理意义。 教学时数:4课时

难点：本单元的难点是第二类曲线积分的定义和相应的 物理意义。 教学时数： 4课时

第一类曲线积分的概念 1柱面的面积 设Σ是一张母线平行于轴,准线为xoy平面上曲线L的 柱面的一部分,高度为(x)(xy)∈L),tz 求曲面的面积。 分析若h(x,y)是常量,则曲面面 积为曲线的长度与h之积。即: A= Sh

第一类曲线积分的概念 1.柱面的面积 设 Σ是一张母线平行于 z轴，准线为xoy平面上曲线 L 的 柱面的一部分，高度为 h (x,y)((x,y ) ∈ L )， 求曲面的面积。 x y z o ( ξi i ,η ) L A B Mi- 1 Mi 分析 若 h (x, y )是常量，则曲面面 积为曲线的长度与 h之积。即： A = S h

4其中:S为曲线的弧长。若hxy)不是常量,则考虑用分 割的方法求之。 在曲线L上插入n个分点,M,M1…,Mn1,Mn。在小 弧段M=1M上取点(5m),并用h(E,m)作为相应小柱 ⊙面的高度,从而得到小柱面的面积 的近似值 △A≈h(5,)As, 由此得到曲面面积的近似值

其中：S为曲线的弧长。若h(x,y)不是常量，则考虑用分 割的方法求之。 在曲线L上插入n个分点，M0, M1,…,Mn-1, Mn。在小 弧段 上取点(ξi, ηi)，并用h(ξi , ηi)作为相应小柱 面的高度，从而得到小柱面的面积 的近似值 M q i i −1M ( , ) , Ai i i i ∆ ≈ h s ξ η ∆ x y z o (ξi i ,η ) L A B Mi-1 由此得到曲面面积的近似值 Mi

A∑(5,n)△s 以表示n个小弧段的最大长度,在上式取>0时的极 限,则有 A=lim h(si, n,)As i=1 即,曲面的面积可以表达为一个 和式的极限

1 ( , ) . n i i i i A h s ξ η = ≈ ∑ ∆ 0 1 lim ( , ) . n i i i i A h s λ ξ η → = = ∑ ∆ 以λ表示n个小弧段的最大长度，在上式取λ→0时的极 限，则有 x y z o 即，曲面的面积可以表达为一个 和式的极限。 (ξi i ,η ) L A B Mi-1 Mi

42曲线型构件的质量 设一曲线型构件,在Oy平面上为曲线L,密度函数为 p(x,y),求此曲线构件的质量。 分析如果P(x,y)为常数,则质量为密度与弧长之 ⊙积,即: M=pu 若p(x,y)为变量,仍然考虑分割:在 曲线上插入n个分点M,M1…,Mn1, B Mn。在小弧段M1M/上取点(,n)

2.曲线型构件的质量 设一曲线型构件，在xoy 平面上为曲线L，密度函数为 ρ (x, y)，求此曲线构件的质量。 分析 如果ρ (x, y)为常数，则质量为密度与弧长之 积，即： 若ρ (x, y)为变量，仍然考虑分割：在 曲线上插入n个分点M0, M1,…,Mn-1, Mn。在小弧段 上取点(ξi, ηi)， x y o A B Mi-1 q Mi Mi i −1M M = ρS

由此得到小弧段质量的近似值: △M≈D(5,7)s2 由此得到小弧段质量的近似值: M≈∑(5,m)△s 以表示n个小弧段的最大长度,在上式取>0时的极 限,则有 M=Iim∑p(5,7)△s

由此得到小弧段质量的近似值： ( , ) , Mi i i i ∆ ≈ ∆ ρ ξ η s 由此得到小弧段质量的近似值： 1 ( , ) , n i i i i M ρ ξ η s = ≈ ∑ ∆ 以 λ表示 n个小弧段的最大长度，在上式取 λ→ 0时的极 限，则有 0 1 li m ( , ) . n i i i i M s λ ρ ξ η → = = ∑ ∆