同济大学：《高等数学》课程教学资源（讲义）第一单元 向量代数

第一单元向量代数

第一单元 向量代数

本单元的内容要点 1向量及向量的基本运算; 2向量的数量积; 向量的向量积; o3.混合积

一、本单元的内容要点 1.向量及向量的基本运算； 2.向量的数量积； 向量的向量积； 3.混合积

本单元的教学要求 1.了解空间直角坐标系及点的坐标; 2.了解空间向量的定义及分量表示 3掌握向量的基本运算; o4掌握向量的数量积、几何意义及几何应用; 5掌握向量的向量积、几何意义及几何应用; 6掌握向量的混合积、几何意义及几何应用

二、本单元的教学要求 1.了解空间直角坐标系及点的坐标； 2.了解空间向量的定义及分量表示； 3.掌握向量的基本运算； 4.掌握向量的数量积、几何意义及几何应用； 5.掌握向量的向量积、几何意义及几何应用； 6.掌握向量的混合积、几何意义及几何应用

本单元教学的重点与难点 重点: 1空间直角坐标系统的建立; 2向量的分量表示法; 3.向量的数量积、向量积、混合积及几何上的应用

三、本单元教学的重点与难点 重点： 1.空间直角坐标系统的建立； 2.向量的分量表示法； 3.向量的数量积、向量积、混合积及几何上的应用

难点: 1空间的直角坐标系统; 2向量的向量积、混合积的引入,计算方法、应用。尤 其是要突出的是:两向量垂直台→向量的数量积=0;两 向量平行令→向量的向量积=0;三向量共面分向量的混 积=0 本单元教学时数:4课时

难点： 1.空间的直角坐标系统； 2.向量的向量积、混合积的引入，计算方法、应用。尤 其是要突出的是：两向量垂直⇔向量的数量积=0；两 向量平行⇔向量的向量积=0；三向量共面⇔向量的混 合积=0。 本单元教学时数：4课时

空间直角巫标系 1空间直角坐标系统的建立 取空间中的一个点称为 坐标原点,过该点引三条相互 垂直的数轴—分别称为x y、和z轴并满足右手法则。由 此建立了三维空间中的直角坐 标系统

空间直角坐标系 1.空间直角坐标系统的建立 取空间中的一个点——称为 坐标原点，过该点引三条相互 垂直的数轴——分别称为 x 、 y、和 z轴并满足右手法则。由 此建立了三维空间中的直角坐 标系统。 y z x o

4过两两垂直的坐标轴,可以得到三个互相垂直的平 面,分别称为xoy平面、y0z平面、xoz平面,这三个平 面把整个空间分成八个部分 卦限

过两两垂直的坐标轴，可以得到三个互相垂直的平 面，分别称为xoy平面、yoz平面、xoz平面，这三个平 面把整个空间分成八个部分—— 卦限。 z x o Ⅰ Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅴ Ⅶ Ⅵ Ⅷ y

2点的坐标 取空间中的点M,过M向三坐标轴引垂线,得投影 x,y,z,由此得到三维数组(x1y,x); 反之,对任何一个三维数组,在 M(x, y, 2) 空间也得到一个点与之对应。如 此建立了空间的点和三维数组的 一个一一对应关系。称x)为 点M的坐标,记为M(xy,z)

2.点的坐标 y z x o M(x,y,z) x y z 取空间中的点M，过M 向三坐标轴引垂线，得投影 x, y, z，由此得到三维数组(x,y,z); 反之，对任何一个三维数组，在 空间也得到一个点与之对应。如 此建立了空间的点和三维数组的 一个一一对应关系。称(x,y,z)为 点M 的坐标，记为M (x,y,z)

点的性质 从下面的图中可以看到: 点M∈I>(x>03y>0,x>0) 点M∈Ⅵ分(x0.,z<0) 点M(x)关于xO平面的M 对称点是(xy,-z);关于 轴的对称点是(xyz)

点的性质 从下面的图中可以看到： z x o Ⅰ Ⅲ Ⅱ Ⅳ Ⅴ Ⅶ Ⅵ Ⅷ y 点M∈Ⅰ⇔(x>0,y>0,z>0) 点M∈Ⅵ⇔(x0,z<0). 点M(x,y,z)关于xoy平面的 对称点是(x,y,-z)；关于y 轴的对称点是(-x,y,-z)

3两点的距离 设空间的两点为:P1(x131x1),P2(x232z), 则两点间的距离公式为: d=12=(x-x)+(y aosannnsn … P J

3.两点的距离 设空间的两点为：P1(x1,y1,z1)，P2(x2,y2,z2)， 则两点间的距离公式为： ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1/2 1 2 [ ] d PP x x y y z z = = − + − + − y z x o P1 P2 z1 z1 x1 x2 y1 y2