江西理工大学理学院：《高等数学》第三章 中值定理与导数的应用（3-2）洛必达法则

江画工太猩院 第2节 洛必达法则

江西理工大学理学院 第 2 节 洛必达法则

江画工太猩院 型及一型未定式解法:洛必达法则 定义如果当x→a(或x→∞)时,两个函数 f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大,那末 极限mf(x) 可能存在、也可能不存在,通 x-a F(r) (x→∞) 常把这种极限称为或—型未定式 tanx 0 In sin ax oo 例如,Iim,(。) x→>0y o In sin bx

江西理工大学理学院 一、 型及 型未定式解法 :洛必达法则 0 0 ∞ ∞ 定义 . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) 常把这种极限称为 或 型未定式 极限 可能存在、也可能不存在．通 与 都趋于零或都趋于无穷大，那末 如果当 或 时，两个函数 ∞ ∞ → → ∞ → ∞ → F x f x f x F x x a x x x a 例如 , , tan lim0 x x x → , lnsin lnsin lim0 bxax x → ) 0 0 ( ( ) ∞ ∞

江画工太猩院 定理设 (1)当x→时,函数∫(x)及F(x)都趋于零; (2)在a点的某去心邻域内,f(x)及F(x)都存在 且F(x)≠0 3)im/(2)存在或为无穷大 x→a F(r) 那末im/(x)=limy(x x→a F(x) x-a F(x) 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则

江西理工大学理学院 . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ); ( ) ( ) (3) lim ( ) 0; (2) , ( ) ( ) (1) , ( ) ( ) ; F x f x F x f x F x f x F x a f x F x x a f x F x x a x a x a ′ ′ = ′ ′ ′ ≠ ′ ′ → → → → 那末 存在 或为无穷大 且 在 点的某去心邻域内 及 都存在 当 时 函数 及 都趋于零 定理 设 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则

江画工太猩院 证定义辅助函数 f(x),x≠a F(x),X≠a fi(r) F;(x) gx=a x=a 在U(a,δ)内任取一点x,在以n与x为端点的区间上, f1(x),F1(x)满足柯西中值定理的条件,则有 f(r)f(x)-f() f(5) F(x)F(x)-F()P')(张在r与之间) 当x→时,→a,;lim f(x) =A,∴lim35=A, x→F(x) 5+F(9) f(x)_1f() m x-a F(x)5aF'(5

江西理工大学理学院 证 定义辅助函数 , 0, ( ), ( ) 1 ⎩⎨⎧ =≠ = x a f x x a f x , 0, ( ), ( ) 1 ⎩⎨⎧ =≠ = x a F x x a F x ( , ) , 0 在U a δ 内任取一点 x 在以 a 与 x 为端点的区间上, ( ), ( ) , f1 x F1 x 满足柯西中值定理的条 件 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) ξ ξ F f ′ ′ = (ξ在x与a之间) 当x → a时,ξ → a, , ( ) ( ) lim A F x f x x a = ′′ → Q , ( ) ( ) lim A Ff a = ′′ ∴ → ξξ ξ . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A F f F x f x x a a = ′ ′ ∴ = → → ξ ξ ξ

江画工太猩院 如果 f(r) 仍属。型,且∫(x),F(x)满足 定理的条件,可以继续使用洛必达法则,即 f(x)_f(x)_f"(x) imF(xr)xaF(x)x-AaF"(x) lim x→ 当x→时,该法则仍然成立 m x-yoo F(x )x=yoo F(x)) 当x→a,x→时的未定式一,也有相应的洛必达法则

江西理工大学理学院 当x → ∞时,该法则仍然成立. 定理的条件，可以继续使用洛必达法则，即 如果 仍属 型，且 ( ), ( ) 满足 00 ( ) ( ) f x F x F x f x ′ ′ ′′ . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim = L ′′′′ = ′′ = → → → F x f x F x f x F x f x x a x a x a . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x x ′ ′ = →∞ →∞ 当 , 时的未定式 ,也有相应的洛必达法则. ∞ ∞ x → a x → ∞

江画工太猩院 tanx 例1求lim sOx 解原式=im (tanx) sec x lim x→0 x-0 3x+2 例2求lm32 x2-x+1 解原式3x2-3 6x3 x13x2-2x-1x16x-22

江西理工大学理学院 例1 解 . tan lim 0 x x x→ 求 ( ) (tan ) lim 0 ′ ′ = → x x x 原式 1 sec lim 2 0 x x→ = = 1. 例2 解 . 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 求 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − = → x x x x 原式 6 2 6 lim1 − = → x x x . 23 = ) 00( ) 00(

江画工太猩院 arctan 例3求im2 x+00 解原式=im 1+x=lim 1 x→10 x→+o1+x In sin ax 例4求lim, x-90 In sin bx 解原式=im COS(LX· sinox coS bX =lim x-0 b cos bx sin ax x-0 cos ax

江西理工大学理学院 例3 解 . 1 arctan 2 lim x x x − →+∞ π 求 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+∞ 原式 2 2 1 lim x x x + = →+∞ = 1. 例4 解 . lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ 求 b bx ax a ax bx x cos sin cos sin lim 0 ⋅ ⋅ = → 原式 = 1. ) 00( ( ) ∞ ∞ ax bx x cos cos lim →0 =

江画工太猩院 例5求lm tanx n tan 3x 解原式=i lim secr 1.c0s23x lim 3sec 3x 3x- cOS x 1-6cos 3xsin 3x sInx =-lim 3 x→ 2cosxsinx πsIn2x :3 x→x2c0s2x

江西理工大学理学院 例5 解 . tan3 tan lim 2 x x x π → 求 x x x 3sec 3 sec lim 22 2 π → 原式 = x x x 2 2 2 cos cos 3 lim 3 1 π → = x x x x x 2cos sin 6cos3 sin3 lim 3 1 2 − − = π → x x x sin2 sin6 lim 2 π → = x x x 2cos2 6cos6 lim 2 π → = = 3. ( ) ∞ ∞

江画工太猩院 注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法, 但与其它求极限方法结合使用,效果更好. tanx-x 例6求im x→0y2tanx secx-l 解原式=m3=im32 2sec xtanx tanx 1 =lim m 6x 3x+0x3

江西理工大学理学院 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法， 但与其它求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解 . tan tan lim 2 0 x x x x x − → 求 3 0 tan lim x x x x − = → 原式 x x x x 6 2sec tan lim 2 → 0 = 2 2 0 3 sec 1 lim x x x − = → x x x tan lim 3 1 → 0 = . 3 1 =

江画工太猩院 二、0.∞,0,0,4,∞0型未定式解法 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型((∞) 1.0.∞型 步骤:0.∞→ 或0.∞→ 0 例7求limx2e,(0.o x→+0 e 解原式=im=lim =+ 式 x→10

江西理工大学理学院 二、0 ⋅ ∞,∞ − ∞,00 ,1∞ ,∞0型未定式解法 例7 解 lim . 2 x x x e − →+∞ 求 ( 0 ⋅ ∞ ) x e x x 2 lim →+∞ 原式 = 2 lim x x e →+∞ = = +∞. 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ), . 00( ( ) ∞∞ 1. 0 ⋅ ∞ 型 步骤: , 1 0 ⋅ ∞ ∞ ⋅ ∞ ⇒ . 0 1 或 0 ⋅ ∞ ⇒ 0 ⋅