江西理工大学理学院：《高等数学》第三章 中值定理与导数的应用（3-4）极值、最值问题

江画工太猩院 第4节 极值、最值问题

江西理工大学理学院 第 4 节 极值、最值问题

江画工太猩院 函数极值的定义 y=f(x) ax x xsb x

江西理工大学理学院 一、函数极值的定义 o x y a b y = f ( x ) x1 x2 x3 x 4 x5 x 6 o x y o x y 0 x 0 x

江西理工大学理学院 定义设函数f(x)在区间(a,b)内有定义,x是 a,b)内的一个点, 如果存在着点x的一个邻域,对于这邻域内的 任何点x,除了点x外,f(x)f(x)均成立,就称 f(x)是函数f(x)的一个极小值 函数的极大值与极小值统称为极值使函数取得 极值的点称为极值点

江西理工大学理学院 ( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , ( , ) , ( ) ( , ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是函数 的一个极小值 任何点 除了点 外 均成立 就称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 是函数 的一个极大值 任何点 除了点 外 均成立 就称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 内的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x a b f x a b x > < 定义 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点

江画工太猩院 二、函数极值的求法 定理1(必要条件)设f(x)在点x处具有导数,且 在x处取得极值,那末必定f(x)=0. 定义使导数为零的点(即方程∫(x)=0的实根叫 做函数f(x)的驻点 注意:可导函数f(x)的极值点必定是它的驻点, 但函数的驻点却不一定是极值点 例如,y=x2,yx-0=0,但x=0不是极值点

江西理工大学理学院 二、函数极值的求法 设 f ( x )在点 x 0处具有导数,且 在 x 0处取得极值,那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = . 定理1(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f ′ x = 注意 : . ( ) , 但函数的驻点却不一定 是极值点 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻 点 例如 , , 3 y = x 0 , y′ x = 0 = 但 x = 0不是极值点

心血画理工太理疊院 证:不妨设f(x是f(x)的极大值,由极大值的定义, 在x的某个去心邻域内,对任何点x,f(x)0(xx0) x-x 由f(x)在x的可导性,有 . f(x)-f(ro)o f(ro)=f(ro)=lim x→x0-0x-X0 f(xo)=f(ro=lim 30<0 X→x0+0x-x0 ∴∫(x)=0

江西理工大学理学院 证： : , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 成立。于是有 在 的某个去心邻域内，对 任何点 均 不妨设 是 的极大值，由极大值的 定义， x x f x f x f x f x − − 由f ( x ) 在 x 0的可导性，有 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 ≤ − − ′ = ′ = → + + x x f x f x f x f x x x ( ) 0 ∴ f ′ x 0 = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 ≥ − − ′ = ′ = → − − x x f x f x f x f x x x

江画工太猩院 定理2(第一充分条件) (1)如果x∈(x1-6,x0),有f(x)>0而x∈(x,xn+6) 有∫(x)0,则f(x)在x处取得极小值 (3)如果当x∈(x0-6,x)及x∈(x,x+)时,f(x) 符号相同则f(x)在x处无极值 (是极值点情形)

江西理工大学理学院 (1)如果 ( , ), x ∈ x0 − δ x0 有 ( ) 0; ' f x > 而 ( , ) x ∈ x0 x0 + δ ， 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在x0处取得极小值. (3)如果当 ( , ) x ∈ x0 − δ x0 及 ( , ) x ∈ x0 x0 + δ 时， ( ) ' f x 符号相同,则 f (x)在x0处无极值. 定理2(第一充分条件) x y o x y x0 o 0 x + − − + (是极值点情形)

江画工太猩院 不是极值点情形) 求极值的步骤: (1)求导数∫(x) (2)求驻点,即方程∫(x)=0的根; (3)检查f(x)在驻点左右的正负号,判断极值点; (4)求极值

江西理工大学理学院 x y o x y o 0 x 0 x + − − + 求极值的步骤: (1) 求导数 f ′(x); (2)求驻点，即方程 f ′(x) = 0的根; (3) 检查 f ′( x) 在驻点左右的正负号 ,判断极值点; (4) 求极值. (不是极值点情形)

江画工太猩院 例1求出函数∫(x)=x3-3x2-9x+5的极值 解f(x)=3x2-6x-9=3(x+1(x-3) 令∫(x)=0,得驻点x1=-1,x2=3.列表讨论 x(-0,-1)-1(13)3(3,+∞) 极 f(x)/ 极大值 值 极大值∫(-1)=10,极小值∫(3)=-2

江西理工大学理学院 例1 解 ( ) 3 9 5 . 求出函数 f x = x3 − x2 − x + 的极值 ( ) 3 6 9 2 f ′ x = x − x − 令 f ′(x) = 0， 1, 3. 得驻点 x1 = − x2 = 列表讨论 x (−∞,−1) − 1 (−1,3) 3 (3,+∞) f ′(x) f (x) + 0 − 0 + 极大值 极小值 极大值 f (−1) = 10, 极小值 f (3) = −22. = 3(x + 1)(x − 3)

江画工太猩院 f(x)=x3-3x2-9x+图形如下 -10

江西理工大学理学院 ( ) 3 9 5 3 2 f x = x − x − x + M m 图形如下

江画工太猩院 定理3(第二充分条件)设f(x)在x处具有二阶导数, 且f(x)=0,f(x)≠0,那末 (1)当f(x0)0时,函数f(x)在x处取得极小值 证(1)∵:f"(x)=lim f(x0+△x)-f( f(xn)=0, 当△x>时,有f(xn+△x)<f(x)=, 所以,函数∫(x)在x处取得极大值.同理可证(2)

江西理工大学理学院 设 f ( x ) 在 0 x 处具有二阶导数, 且 ( ) 0 0 ' f x = , ( ) 0 0 '' f x ≠ , 那末 (1)当 ( ) 0 0 '' f x 时, 函数 f ( x ) 在 x 0处取得极小值. 定理3(第二充分条件) 证 ( 1 ) x f x x f x f x x ∆ ′ + ∆ − ′ ′′ = ∆ → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 Q 0 f ′ x = 0 , 当 ∆x > 0时， ( ) ( ) 0 0 有f ′ x + ∆x < f ′ x = 0 , 所以，函数 f ( x ) 在 x 0处取得极大值．同理可证(2)