江西理工大学理学院：《高等数学》第八章 重积分（8-3）极坐标计算二重积分

江画工太猩院 第三节 坐标计算二重积分

江西理工大学理学院 第三节 极坐标计算二重积分

江西理工大学理学院 、利用极坐标系计算二重积分 △1=+2 i r=r+△r 0=+△ 2+=r △ +(; +Ar 2 r△ 0=0 △ 0 A D f(x,)dxdy= f(, rsin)rdrd0. D

江西理工大学理学院 A o D ∆σ i i r = r i i r = r + ∆r θ = θ i + ∆θ i θ = θ i i i i i i i ∆σ = r + ∆r ⋅ ∆θ − r ⋅ ∆θ 2 2 21 ( ) 21 i i i i = (2r + ∆r )∆r ⋅ ∆θ 21 i i i i i r r r r ∆ ⋅ ∆θ + + ∆ = 2 ( ) , i i i = r ⋅ ∆r ⋅ ∆θ ( , ) ( cos , sin ) . ∫∫ ∫∫ = D D f x y dxdy f r θ r θ rdrdθ 一、利用极坐标系计算二重积分

江画工太猩院 二重积分化为二次积分的公式(1) 区域特征如图 q1 r=q2() a≤6≤B, D 0()≤r≤q2(6). A ∫(rcos,rsin6rrl6 0) a f(rose, sino)rdr pn(0)

江西理工大学理学院 ( cos , sin ) . ( ) ( ) 2 1 ∫ ∫ = ϕ θ ϕ θ βα dθ f r θ r θ rdr α β A D o ( ) r = ϕ1 θ ( ) r = ϕ2 θ ∫∫ D f (r cosθ ,rsinθ )rdrdθ 二重积分化为二次积分的公式（１） 区域特征如图 α ≤ θ ≤ β , ( ) ( ). ϕ1 θ ≤ r ≤ ϕ 2 θ

江画工太猩院 区域特征如图 0() D r=g(6) a≤6≤B, 02(6)sr≤q2() -1x 0 If(rcos e, sine)rdrde d q2(6) ∫( rose, rsin e)rtr J@1(0

江西理工大学理学院 区域特征如图 α ≤ θ ≤ β , ( ) ( ). ϕ1 θ ≤ r ≤ ϕ 2 θ ( cos , sin ) . ( ) ( ) 21 ∫ ∫ = ϕ θ ϕ θ βα dθ f r θ r θ rdr ∫∫ D f (r cosθ ,rsinθ )rdrdθ α β o A D ( ) r =ϕ2 θ ( ) r =ϕ1 θ

江画工太猩院 二重积分化为二次积分的公式(2) 区域特征如图 a≤6≤B, 0≤r≤p(6) C ∫(rcos6,rsin6rrde de f(rose, rsin a)rdr

江西理工大学理学院 A o D r = ϕ (θ ) ( cos , sin ) . ( ) ∫ ∫0 = β ϕ θ α dθ f r θ r θ rdr 二重积分化为二次积分的公式（２） 区域特征如图 α ≤ θ ≤ β , 0 ≤ r ≤ ϕ(θ ). ∫∫ D f (r cosθ ,rsinθ )rdrdθ α β

江画工太猩院 二重积分化为二次积分的公式(3) 区域特征如图 r=0(6) D 0≤6≤2π,0≤r≤(6) ∫(rcos, rsinordrdB D p(6) rosysinor rdr 极坐标系下区域的面积σ=rrd

江西理工大学理学院 ∫∫ D f (r cosθ ,rsinθ )rdrdθ ( cos , sin ) . ( ) 0 2 ∫0 ∫ = π ϕ θ dθ f r θ r θ rdr 极坐标系下区域的面积 . ∫∫ = D σ rdrdθ 二重积分化为二次积分的公式（３） 区域特征如图 0 ≤ r ≤ ϕ(θ ). D o A r = ϕ (θ ) 0 ≤ θ ≤ 2π

江画工太猩院 例1写出积分(x,y)的极坐标二次积分形 D 式,其中积分区域 D=x,y)l1-xsysv1-x', 0sx<1 X=cos 解在极坐标系下 x2+y2 ly=rsin g oil 所以圆方程为r=1, 0.2 x+y=1 直线方程为r= sin+ e 0.20.40.60.81 ∫(,y)d=!l」,( coso, rsin6 n8+cos 8

江西理工大学理学院 例 1 写出积分 ∫∫ D f ( x , y )dxdy的极坐标二次积分形 式，其中积分区域 {( , )| 1 1 , 2 D = x y − x ≤ y ≤ − x 0 ≤ x ≤ 1 }. x + y = 1 1 2 2 解 在极坐标系下 x + y = ⎩ ⎨ ⎧ = = θ θ sin cos y r x r 所以圆方程为 r = 1 , 直线方程为 sin θ cos θ 1 + r = , ∫∫ D f ( x , y )dxdy ( cos , sin ) . 2 0 1 sin cos ∫ ∫ 1 + = π θ θ dθ f r θ r θ rdr

江画工太猩院 例2计算∫小,其中D是由中心在 原点,半径为a的圆周所围成的闭区域 解在极坐标系下 D:0≤r<a,0≤0≤2兀 JJe - h done"rdr D (1-e)

江西理工大学理学院 例 2 计算 e dxdy D x y ∫∫ − −2 2 ，其中 D 是由中心在 原点，半径为a的圆周所围成的闭区域. 解 在极坐标系下 D：0 ≤ r ≤ a，0 ≤ θ ≤ 2π. e dxdy D x y ∫∫ − −2 2 ∫ ∫ − π = θ a r d e rdr 0 20 2 (1 ). 2 a e − = π −

江画工太猩院 P+002 例3求广义积分e-tr 解D={x,yx2+y2R}n D2={(x,yx2+y2s2R2} S={(x,y)0≤x≤R,0≤y≤R R√2R {x≥0,y≥0显然有 D CSCD2 ∫e小s』e2ds』c2d

江西理工大学理学院 例 3 求广义积分∫+∞ − 0 2 e dx x . 解 {( , )| } 2 2 2 D1 = x y x + y ≤ R {( , )| 2 } 2 2 2 D2 = x y x + y ≤ R {x ≥ 0, y ≥ 0} S = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ R,0 ≤ y ≤ R} 显然有 D1 ⊂ S ⊂ D2 0, 2 2 > − x − y Q e ∴ ∫∫ − − 1 2 2 D x y e dxdy ∫∫ − − ≤ S x y e dxdy 2 2 . 2 2 2 ∫∫ − − ≤ D x y e dxdy D1SD2 S D1 D2 R 2R

江画工太猩院 又∵:Ⅰ dxdy R R e dx e dy=l e dx dxdy R R dee rdr=(1-e ) 同理l2= ey dxdy=:(1-e =2R D

江西理工大学理学院 又 ∫∫ − − = S x y I e dxdy 2 2 Q ∫ ∫ − − = R y R x e dx e dy 0 0 2 2 ( ) ;2 0 2 ∫ − = R x e dx I1 = ∫∫ − − 1 2 2 D x y e dxdy ∫ ∫ − π = θ R r d e rdr 0 0 2 2 (1 ); 4 2 R e − − π = 同理I2 = ∫∫ − − 2 2 2 D x y e dxdy (1 ); 4 2 2R e − − π =