江西理工大学理学院：《高等数学》第十章 无穷级数（10-8）正弦、余弦级数、2L为周期的函

江画工太猩院 第八节 正猞、佘弦級数 2L为周期的函数 展开成傅立叶级数

江西理工大学理学院 第八节 正弦、余弦级数 2 L为周期的函数 展开成傅立叶级数

江画工太猩院 一、函数展开成正弦级数或余弦级数 非周期函数的周期性开拓 设f(x)定义在0,m上,延拓成以2π为周期的 函数F(x) 「f(x)0≤x≤π 令F(x) 且F(x+2)=F(x) g(x)-π<x<0 则有如下两种情况 ∫奇延拓 偶延拓

江西理工大学理学院 一、函数展开成正弦级数或余弦级数 非周期函数的周期性开拓 ( ). ( ) [ 0 , ] , 2 F x f x 函数 设 定义在 π 上 延拓成以 π为周期的 , ( ) 0 ( ) 0 ( ) ⎩ ⎨ ⎧ − π < < ≤ ≤ π = g x x f x x 令 F x 且 F ( x + 2 π ) = F ( x), 则有如下两种情况 . ⎩ ⎨ ⎧ 偶延拓 奇延拓

江画工太猩院 奇延拓:g(x)=-f(-x) f(x)0<x≤π 则F(x) x=0 ∫(-x)-π<x<0 ∫(x)傅氏正弦级数 ∫(x)分∑ b sin nx(0≤x≤π

江西理工大学理学院 奇延拓: g(x) = − f (− x) ⎪⎩ ⎪⎨⎧ − − − π < < = < ≤ π = ( ) 0 0 0 ( ) 0 ( ) f x x x f x x 则F x x y − π 0 π f (x)的傅氏正弦级数 ↔ ∑ ∞ =1 ( ) sin n f x bn nx (0 ≤ x ≤ π)

江画工太猩院 偶延拓:g(x)=∫(-x) 则F(以=/1 (x)0≤x≤T f(-x)-丌"0+∑anc0sx(0sxsπ)

江西理工大学理学院 偶延拓: g(x) = f (− x) ⎩⎨⎧ − − π < < ≤ ≤ π = ( ) 0 ( ) 0 ( ) f x x f x x 则F x f (x)的傅氏余弦级数 ↔ + ∑ ∞ =1 0 cos 2 ( ) n an nx a f x (0 ≤ x ≤ π) x y − π 0 π

江画工太猩院 例1将函数∫(x)=x+1(0≤x≤7)分别展开成 正弦级数和余弦级数 解(1)求正弦级数.对f(x进行奇延拓, 2 f(x) sinned=二 x+dsin ndx (1-cosm-c0smπ) 2+2 当n=1,3,, 当n=2,4

江西理工大学理学院 例 1 将函数 f (x) = x + 1 (0 ≤ x ≤ π)分别展开成 正弦级数和余弦级数. 解 (1)求正弦级数. 对f (x)进行奇延拓, ∫ π = π 0 ( )sin 2 b f x nxdx n ∫ + π = π0 ( 1)sin 2 x nxdx (1 cos cos ) 2 − π π − π π = n n n ⎪⎩ ⎪⎨⎧ − = = π + ⋅ π = L L 2,4,6, 2 1,3,5, 2 2 n n n n 当 当

江画工太猩院 x +l=(T+2) -sin 2x +(T+2)sin 3x -. (0<x<) y=-(T+2)sinx--sin 2x+-(T+2)sin 3x-sin4x+-(T+2)sin 5x J=x+1 1.5 2 2.5

江西理工大学理学院 ( 2)sin3 ] 31 sin2 2 [( 2)sin 2 1 + π + −L π π + − π x + = x x x (0 < x < π) ( 2)sin5 ] 51 sin4 4 ( 2)sin3 31 sin2 2 [( 2)sin 2 y x x x x + π + x π + π + − π π + − π = y = x + 1

江画工太猩院 (2)求余弦级数.对f(x)进行偶延拓, (x+1)x=+2, 优叭 a, =h(x+1)cos ndx 0当n=2,4,6, cosM兀 1) 当n=1,3,5, x+1=+1-(cosx+2C03x+2c0s5x+… 2 (0≤x≤)

江西理工大学理学院 (2)求余弦级数. 对f ( x )进行偶延拓 , ∫ π + π = 0 0 ( 1 ) 2 a x dx = π + 2 , ∫ + π = π 0 ( 1 )cos 2 a x nxdx n (cos 1 ) 2 2 π − π = n n ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = π − = = L L 1 , 3 , 5 , 4 0 2 , 4 , 6 , 2 n n n 当 当 cos 5 ] 5 1 cos 3 3 1 (cos 4 1 2 1 + 2 + 2 + L π + − π x + = x x x ( 0 ≤ x ≤ π )

江画工太猩院 二、以2L为周期的傅氏级数 ∵T=2,∴0 代入傅氏级数中 +2(a, cos nax +, sin nax) -=1 定理设周期为2)周期函数∫(x)满足收敛 定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为 f(x)=1+>(an, cos"+b, sin"), =1

江西理工大学理学院 二、以2L为周期的傅氏级数 QT = 2l, . 2T lπ = π ∴ω = 定理 定理的条件 则它的傅里叶级数展开 式为 设周期为 的周期函数 满足收敛 , 2l f (x) ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n π + π = +∑ ∞ = ( cos sin ) 2 1 0 a n x b n x a n n +∑ n ω + ω ∞ = 代入傅氏级数中

江画工太猩院 其中系数an,b为 n T f(x)cns2,d,(n=012,) nT f(x)sin",x,(n=1,2,…) (1)如(x)为奇函数,则有 f(x)=∑bsn nTr 其中系数b为b=[f(x)sin T rdk,(n=1,2,)

江西理工大学理学院 其中系数 an , bn为 ( )cos , ( 0,1,2, ) 1 = L π = ∫− dx n l n x f x l a ll n ( )sin , ( 1,2, ) 1 = L π = ∫− dx n l n x f x l b ll n (1) 如果f (x)为奇函数, 则有 ( ) sin , 1 ∑ ∞ = π = n n l n x f x b ( )sin , 2 0 dx l n x f x l b b l n n ∫ π 其中系数 为 = (n = 1,2,L)

江画工太猩院 (2)如果f(x)为偶函数,则有 f(x)=7+∑ a cOS 其中系数a为an=2f(x)os,t n=0,1,2 证明令z=,-1≤x≤l→-丌≤z≤兀, 设f(x)=f()=F(,F(z)以2x为周期. F(x)=2+∑a:sn+b,sinz -=1

江西理工大学理学院 ( 2 ) 如果f ( x )为偶函数 , 则有 cos , 2 ( ) 1 0 ∑ ∞ = π = + n n l n x a a f x dx l n x f x l a a l n n ∫ π = 0 ( )cos 2 其中系数 为 ( n = 0 , 1 , 2 , L ) 证明 , l x z π 令 = − l ≤ x ≤ l ⇒ − π ≤ z ≤ π , ( ) ( ) F ( z), lz f x f = π 设 = F ( z ) 以 2 π为周期 . ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 a nz b nz a F z n n = + ∑ n + ∞ =