江西理工大学理学院：《高等数学》第十一章 微分方程（11-1）微分方程基本概念、可分离变

江画工太猩院 第十一章 微分方程

江西理工大学理学院 第十一章 微分方程

江画工太猩院 第一节 微分方程基本念 可分离变量方程

江西理工大学理学院 第一节 微分方程基本概念 可分离变量方程

江画工太猩院 问题的提出 例1一曲线通过点(12),且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程 解设所求曲线为y=y(x) =2x其中x=1时,y=2 ∫2xd即y=x2+C,求得C=1 所求曲线方程为y=x2+1

江西理工大学理学院 例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M(x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 y = y(x) x dx dy = 2 ∫ y = 2xdx 其中 x = 1时, y = 2 , 2 即 y = x + C 求得C = 1, 1 . 2 所求曲线方程为 y = x + 一、问题的提出

江画工太猩院 例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度-04米/秒2,问开始制动 后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间内 行驶了多少路程? 解设制动后t秒钟行驶s米,s=() d =-04t=0时,s=0 v =20 d t 0.4t+C,s=-0.2t2+Ct+C

江西理工大学理学院 例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度− 0.4米/秒 2,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？ 解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s = s(t) 0.4 2 2 = − dt d s = 0 , = 0, = = 20, dt ds t 时 s v 4 1 0. t C dt ds v = = − + 1 2 2 s = −0.2t + C t + C

江画工太猩院 代入条件后知C1=20,C2=0 =,=-0.4t+20, 故S=-0.2t2+20t, 开始制动到列车完全停住共需t 20 50(秒), 04 列车在这段时间内行驶了 S=-02×502+20×50=500()

江西理工大学理学院 代入条件后知 C1 = 20, C2 = 0 0.2 20 , 2 s = − t + t = = −0.4t + 20, dt ds v 故 50( ), 0.4 20 t = = 秒 列车在这段时间内行驶了 0.2 50 20 50 500( ). s = − × 2 + × = 米 开始制动到列车完全停住共需

江画工太猩院 二、微分方程的定义 微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 例y′=x,y"+2y-3y=e, (+x)t+y,m++y, 实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式

江西理工大学理学院 微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 y′ = xy, ( ) 0, 2 t + x dt + xdx = 2 3 , x y′′ + y′ − y = e x y, x z = + ∂ ∂ 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式. 二、微分方程的定义

江画工太猩院 分类1:常微分方程,偏微分方程 微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之 分类2: 阶微分方程F(x,y,y)=0,y=f(x,y) 高阶()微分方程F(x,y,y,…,ym)=0, yo=∫(x,y,y,…,yn

江西理工大学理学院 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之. 分类1: 常微分方程, 偏微分方程. 一阶微分方程 F(x, y, y′) = 0, y′ = f (x, y); 高阶(n)微分方程 ( , , , , ) 0, ( ) ′ = n F x y y L y ( , , , , ). ( ) ( −1) = ′ n n y f x y y L y 分类2:

江画工太猩院 分类3:线性与非线性微分方程 y+P(x)=o(x), x(y)-2yy'+x=0; 分类4:单个微分方程与微分方程组 =3y-2, =2y-

江西理工大学理学院 分类3: 线性与非线性微分方程. y′ + P(x) y = Q(x), ( ) 2 0; 2 x y′ − yy′ + x = 分类4: 单个微分方程与微分方程组. ⎪⎩ ⎪⎨⎧ = − = − 2 , 3 2 , y z dx dz y z dxdy

江画工太猩院 主要问题—求方程的解 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之 设y=q(x)在区间I上有n阶导数, F(x,p(x),p(x,,p"(x)=0. 微分方程的解的分类: (1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同

江西理工大学理学院 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之. 设y = ϕ(x)在区间 I 上有 n阶导数, ( , ( ), ( ), , ( )) 0. ( ) F x ϕ x ϕ′ x ϕ x = L n 微分方程的解的分类： 三、主要问题-----求方程的解 (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同

江画工太猩院 例y=y,通解y=e; y"+y=0,通解y=C1sinx+C2cosx; (2)特解:确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象:微分方程的积分曲线 通解的图象:积分曲线族 初始条件:用来确定任意常数的条件

江西理工大学理学院 (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 例 y′ = y , ; x 通解 y = Ce y′′ + y = 0 , sin cos ; 1 2 通解 y = C x + C x 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件