江西理工大学理学院：《高等数学》第一章 函数 极限 连续（1-4）极限存在准则、两个重要极限

江画工太猩院 第4节 极限存在准则 两个重要极限

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江画工太猩院 极限存在准则 1夹逼准则 准则如果数列x,yn及乙n满足下列条件: O ysx,,(n=1, 2, 3. (2)lim y, =a, liman =a, 1-→0 1→00 那末数列xn的极限存在,且 lim x=a n→0 证∵yn→a,zn→a, ⅤE>0,彐N1>0,N2>0,使得

江西理工大学理学院 一、极限存在准则 1.夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: ( 2 ) lim , lim , ( 1 ) ( 1 , 2 , 3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = ≤ ≤ = → ∞ → ∞ L 那末数列 n x 的极限存在, 且 x n a n = → ∞ lim . 证 y a , z a , Q n → n → ∀ ε > 0 , ∃ N 1 > 0 , N 2 > 0 , 使得

江画工太猩院 当n>N时恒有n-aN时恒有zn-aM时,恒有a-E<yn≤xn≤zn<a+, 即xn-a<E成立, limx =a 1→0 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限

江西理工大学理学院 , 1 n > N y − a N时, 恒有 a − ε N z − a < ε 当 时恒有 n a − ε < z < a + ε, n 上两式同时成立, a − ε < y ≤ x ≤ z < a + ε , n n n 即 x − a < ε 成立, n lim x a. n n ∴ = →∞ 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限

江画工太猩院 准则′如果当x∈U(xn0)(或x>M时有 (1)g(x)≤∫(x)≤l(x), (2 )lim gx)=A, lim h(x)=A x→x0 x→x0 (x→00) (x→∞) 那末im∫(x)存在,且等于A. x→xo (x→∞) 准则邮和准则称为夹逼准则. 注意:利用夹逼准则求极限关键是构造出yn与zn, 并且yn与zn的极限是容易求的

江西理工大学理学院 准则Ⅰ′ 如果当 ( , ) 0 0 x ∈U x δ (或 x > M )时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = = ≤ ≤ →∞ → →∞ → 那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x →∞ → 存在, 且等于A. 注意: . , 并且 与 的极限是容易求的 利用夹逼准则求极限关键是构造出 与 n n n n y z y z 准则 ,和准则 ,'称为夹逼准则

江画工太猩院 例1求lm( n→0 n2+1√n2+2 n+1 n 解 n2+n√n2+1 n2+n√n2+1 n 又lim lim n→0 √n-+n n→0 1+ m lim =1,由夹逼定理得 n→0√n2+1n-0 1+ n im(,,+ ∴ )=1. nl→0 n2+1n2+2 √n-+n

江西理工大学理学院 例1 ). 1 2 1 1 1 lim ( 2 2 2 n n n n + n + + + + → ∞ + 求 L 解 , 1 1 1 1 2 2 2 2 + < + + + + < + n n n n n n n n Q L n n n n n n 1 1 1 lim 2 lim + = → ∞ + → ∞ 又 = 1 , 2 2 1 1 1 lim 1 lim n n n n n + = → ∞ + → ∞ = 1 , 由夹逼定理得 ) 1. 1 2 1 1 1 lim ( 2 2 2 = + + + + + n → ∞ n + n n n L

江画工太猩院 2单调有界准则 如果数列x满足条件 x1≤x2…≤xn≤xn≤…,单调增加 单调数列 1≥x2…≥xn≥xm1≥…,单调减 准则‖单调有界数列必有极限. 几何解释: , t,x a mx

江西理工大学理学院 x x1 x2 x3xn xn+1 2.单调有界准则 如果数列 xn满足条件 , x1 ≤ x2L≤ xn ≤ xn+1 ≤ L 单调增加 , x1 ≥ x2L≥ xn ≥ xn+1 ≥ L 单调减少 单调数列 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限. 几何解释: A M

江画猩工式塑辱院 例2证明数列x,=3+、3+…+3(n重根 式)极限存在 证显然xn1>xn,:{x}是单调递增的; 又∵:x1=3<3,假定 x1<3, k +x<√3+3<3 x}是有界的;∴ limx存在 n→ 3+x,, n+1=3+ n, lim x 1=lim(3+ n), n→0 1+√/13 3+A,解得A A (舍去) 2 1+√13 lim l→0

江西理工大学理学院 例2 ) . 3 3 3 ( 式 的极限存在 证明数列 xn = + + L+ n重根 证 , 显然 xn+1 > xn { }是单调递增的 ; n ∴ x 3 3, 又Q x1 = < < 3, k 假定 x k k x = + x + 3 1 < 3 + 3< 3, { }是有界的 ; n ∴ x lim 存在. n n x →∞ ∴ 3 , n 1 n x = + x Q + 3 , 2n 1 n x = + x + lim lim(3 ), 2 1 n n n n x = + x →∞ + →∞ 3 , 2 A = + A 2 1 13 , 2 1 13 − = + 解得 A = A (舍去) . 2 1 13 lim + ∴ = →∞ n n x

江画工太猩院 3、柯西极限存在准则* 数列{xn}收敛的充分必要条件是:对于任意 给定的正数E,存在着这样的正整数N,使得 当m>N,n>N时,就有

江西理工大学理学院 *3、柯西极限存在准则* 给定的正数 ，存在着这样的正整数 ，使得 ε N 数列 收敛的充分必要条件是： { }n x 对于任意 当 ， 时，就有 m > N n > N | − |< ε xn xm

江画工太猩院 二、两个重要极限 sInx m D x→0 设单位圆O,圆心角∠AOB=x,(0<x< 作单位圆的切线,得△ACO. 扇形OAB的圆心角为x,△OAB的高为BD, 于是有sinx=BD,x=弧AB,tanx=AC

江西理工大学理学院 A C 二、两个重要极限 (1) 1 sin lim0 = → x x x ) 2 , , ( 0 π 设单位圆 O 圆心角 ∠AOB = x < x < 于是有sin x = BD , x = 弧 A B , tan x = AC , x o B D 作单位圆的切线，得 ∆ACO . 扇形OAB的圆心角为 x , ∆OAB的高为BD

江画工太猩院 simx0 lim cos x=1,又:lim1=1,∴lim=1 x→0 x→0 x

江西理工大学理学院 ∴sin x < x < tan x, 1, sin cos < < x x 即 x 0 . 2 上式对于 < < 也成立 π − x , 2 当 0 时π < x < 0 < cos x − 1 = 1 − cos x 2 2sin2 x = 2 ) 2 2( x < , 22 x = 0, 2 lim 2 0 = → x x Q lim(1 cos ) 0, 0 ∴ − = → x x limcos 1, 0 ∴ = → x x lim1 1, 0 = x→ 又Q 1. sin lim 0 ∴ = → x x x