江西理工大学理学院：《高等数学》第十一章 微分方程（11-2）齐次方程、一阶线性方程

江画工太猩院 第二节 齐次方程 一阶线性方程

江西理工大学理学院 第二节 齐次方程 一阶线性方程

一、齐次方程 工 1.定义形如=f()的微分方程称为齐次方程 2.解法作变量代换u=,即y=xu, dy du =u+x dx dx 代入原式u+x=f(u) dx 可分离变量的方程 dx x 工 上页下页返回

一、齐次方程 ( ) x y f dxdy 形如 = 的微分方程称为齐次方程. 2.解法 , x y 作变量代换 u = 即 y = x u , 代入原式 , dx du u x dx dy ∴ = + f ( u), dxdu u + x = . ( ) x f u u dx du − 即 = 可分离变量的方程 1.定义

当∫(a)-u≠=0时,得∫ InC f(u)=u 即r=c(,(g(a)fd f(u-u M将u=代入,得通解x=Ce, 当彐an,使f(an)-n=0,则a=u是新方程的解, 代回原方程,得齐次方程的解y=x 上页

当 f (u) − u ≠ 0时, ln , ( ) 1 C x f u u du = − 得 ∫ , (u) x Ceϕ 即 = ∫ − （ = ） f u u du u ( ) ϕ( ) 将 代入, x y u = , ( ) xy x Ceϕ 得通解 = , 当∃u0 ( ) 0, 使 f u0 − u0 = , 则 u = u0是新方程的解 代回原方程 , . 得齐次方程的解 y = u0 x

例求解微分方程 (x-ycos)dx+xcos-dy=0 解令m=),则小 =xdutudr (r-ux cos u dx+x u(udx+xdu)=0, sinu==lnx+c 微分方程的解为sin=-lnx+C. 上页

例1 求解微分方程 ( − cos ) + cos dy = 0. x y dx x x y x y 令 ， x y u = 则 dy = xdu + udx， (x − uxcosu)dx + xcosu(udx + xdu) = 0, cos , x dx udu = − sinu = −ln x + C, sin ln x C. x y 微分方程的解为 = − + 解

d 例2求解微分方程了 xnty y=ry yy 解中 y-ry d x x-xyt y 1-+ xx 令u=),则b=xch+ud, x 2u2-u u+ru= 1-m⊥n2 上页

2 2 2 2 x xy y y xy dx dy − + − = , 1 2 2 2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = x y x y x y x y , x y 令 u = 则 dy = xdu + udx , , 1 2 2 2 u u u u u x u − + − + ′ = . 2 2 2 2 y xy dy x xy y dx − = − + 例2 求解微分方程 解

21 +,uu= CT 2u-2 uu-2u-1 In(u-1)-n(u-2)-Inu=Inx+InC, =Cx ulu 微分方程的解为(y-x)2=C1(y-2x) 上页

ln ln ln , 21 ln( 2) 23 ln(u − 1) − u − − u = x + C . ( 2) 1 2 3 Cx u u u = − − 微分方程的解为 ( ) ( 2 ) . 2 3 y − x = Cy y − x ] , 1 1 2 2 ) 1 2 1 ( 21[ xdx du u u u u = − + − − − −

例3抛物线的光学性质 实例:车灯的反射镜面—旋转抛物面 解如图设旋转轴轴y 生光源在(001 王设Mx为L上任一点,M R MT为切线,斜率为y, x N MN为法线,斜率为-, L ∠OMN=∠MMR, 上页

例3 抛物线的光学性质 实例: 车灯的反射镜面------旋转抛物面 解 如图 设旋转轴 ox轴 光源在(0,0), L : y = y(x) x y o M T N R L 设M(x, y)为L上任一点， MT为切线, 斜率为 y′, , 1 , y MN ′ 为法线 斜率为 − Q ∠ OMN = ∠ NMR

∴tan∠OMN=tan∠NMR, 由夹 R tan∠OMN= M 角正 y N x切 xy 式得 L tan∠NMR= 得微分方程 my2+2xy-y=0,即yy/×1 上页

⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ′ ∠ = ′ − − ′ − ∠ = y NMR xy y x y y OMN 1 tan 1 1 tan 2 0 , 2 yy′ + xy′ − y = 得微分方程 ( ) 1. 2 ′ = − ± + y x y x 即 y ∴ tan ∠ OMN = tan ∠ NMR , 由夹 角正 切公 式得 x y o M T N R L

-1±√1+u 平令n=,得u+xa= L udu d 分离变量 (1+l2)1+p tdt dx 令1+2=t,t1)x 积分得m±1=10,即n2/C C 上页

令 ， x y u = , 1 1 2 u u dx du u x − ± + 得 + = 分离变量 , (1 ) 1 2 2 xdx u u udu = − + ± + 令 1+ u2 = t 2， , ( 1) x dx t t tdt = − ± 积分得 ln 1 ln , x C t ± = 1 1, 2 + = ± x C 即 u

C 2C 平方化简得n2=,+ xx C。抛物线 代l y 回u=二 得y2=2C(x+ 2 所求旋转轴为ax轴的旋转抛物面方程为 C +z2=C(x+ 上页

平方化简得 , 2 22 2 xC xC u = + 代回 , 得 x y u = ) 2 2 ( 2 C y = C x + 抛物线 所求旋转轴为 ox轴的旋转抛物面方程为 ). 2 2 ( 2 2 C y + z = C x +