江西理工大学理学院：《高等数学》第十一章 微分方程（11-3）全微分方程、可降阶高阶方程

江画工太猩院 第三节 全微分方程 可降阶高阶方程

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江西理工大学理学院 、全微分方程及其求法 1.定义:若有全微分形式 dxy)=p(xy)dx+(y)y全微分方程 则P(x,ydx+(x,ydy=0 或恰当方程 例如xdx+ydy=0,u(x,y)x2+y2), ∴du(x,y)=xdx+ydy,所以是全微分方程. P00 全微分方程 dy ax

江西理工大学理学院 一、全微分方程及其求法 1.定义: 则 P ( x , y )dx + Q ( x , y ) dy = 0 du( x, y ) = P( x, y )dx + Q( x, y )dy 若有全微分形式 例如 xdx + ydy = 0 , ( ), 2 1 ( , ) 2 2 Q u x y = x + y 全微分方程 或恰当方程 ∴du ( x , y ) = xdx + y dy , 所以是全微分方程 . . x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ 全微分方程 ⇔

江画工太猩院 2解法: P(x,y)x+Q(x,y)y=0全微分方程 ap 00 0应用曲线积分与路径无关.∵ 通解为以(x,y)=P(x,)x+」x,y ∫(x)+」P(x,)x,(x,y)=C e用直接凑全微分的方法

江西理工大学理学院 2.解法: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 n应用曲线积分与路径无关. xQ yP ∂∂ = ∂∂ Q 通解为 ∫ ∫ = + yy xx u x y P x y d x Q x y dy 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) , 0 0 0 Q x y dy P x y dx x x y ∫y ∫ = + u(x, y) = C ; o 用直接凑全微分的方法. 全微分方程

江画工太猩院 例1求方程(x3-3xy2)+(y23-3x2y)dy=0 的通解 解0P。0Q aP y ax 是全微分方程, u(x, v)=(x-3xy)dx+ydy x 3 22 r y+ 2x 3, 原方程的通解为 4xyt=c

江西理工大学理学院 . ( 3 ) ( 3 ) 0 3 2 3 2 的通解 求方程 x − xy dx + y − x y dy = 解 6 , x Q xy y P ∂ ∂ = − = ∂ ∂ 是全微分方程, ∫ ∫ = − + x y u x y x xy d x y dy 0 3 0 3 2 ( , ) ( 3 ) . 2 4 3 4 4 2 2 4 C y x y x 原方程的通解为 − + = , 2 4 3 4 4 2 2 4 y x y x = − + 例1

江画工太猩院 2x 3x 例2求方程"db+ φ=0通解 ap 6x 00 解 Oy y ax 是全微分方程, 将左端重新组合d+( 3x 1 x' =d(-3)+d(3)=l(-+3), 2 原方程的通解为--+"3=C

江西理工大学理学院 0 . 2 3 4 2 2 求方程 3 = 的通解 − + dy y y x dx y x 解 , 6 4 x Q y x y P ∂ ∂ = − = ∂ ∂ 是全微分方程 , 将左端重新组合 ) 2 3 ( 1 4 2 2 3 dy y x dx y x dy y + − ) ( ) 1 ( 3 2 y x d y = d − + . 1 3 2 C y x y 原方程的通解为 − + = ), 1 ( 3 2 y x y = d − + 例 2

江画工太猩院 积分因子法 定义:山(x,y)≠0连续可微函数,使方程 μ(x,y)P(x,y)kx+μ(x,y)Q(x,y)=0成为全 微分方程则称山(x,y)为方程的积分因子 问题:如何求方程的积分因子?

江西理工大学理学院 二、积分因子法 定义: µ ( x , y ) ≠ 0连续可微函数，使方程 µ ( x , y ) P ( x , y )dx + µ ( x , y ) Q ( x , y )dy = 0成为全 微分方程.则称 µ ( x , y )为方程的积分因子. 问题: 如何求方程的积分因子 ?

江画工太猩院 1公式法:.O(P)_0(Q) Oy a ap ou 00 ou t p Q两边同除 Oy ay ax ax Q u dInu aP oQ yop~n、求解不容易 特殊地 a当只与有关时;c=0, ax dx

江西理工大学理学院 1.公式法: , ( ) ( ) x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ µ µ Q x Q x Q y P y P ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ µ µ µ µ 两边同除 µ， x Q y P y P x Q ∂∂ − ∂∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ ln µ ln µ 求解不容易 特殊地: a.当µ只与x有关时; = 0, ∂∂yµ , dxd xµ µ = ∂∂

江画工太猩院 dInu 1a 00 d o Oy ax )=f(x) (x)=e ∫f(x)d b当八只与有关时;=0, oX dIn u 1, a0 OP dy P ax ay g(y) g(y)dy (y)=e

江西理工大学理学院 b.当 µ只与 y有关时 ; ( ) ln 1 x Q y P dx Q d ∂ ∂ − ∂ ∂ ∴ = µ = f ( x ) ( ) . ( ) ∫ ∴ = f x dx µ x e = 0 , ∂ ∂ x µ , dy d y µ µ = ∂ ∂ ( ) ln 1 y P x Q dy P d ∂ ∂ − ∂ ∂ ∴ = µ = g ( y ) ( ) . ( ) ∫ ∴ = g y dy µ y e

江画工太猩院 2观察法:凭观察凑微分得到山(x,y) 常见的全微分表达式 xdy-ydx y xdr t ydy =d x xdy ydx ydy+ ydx d arctan d in xy) r t x xy xd t ydy d In(x+ y x t y xdy-ydx=dIn -) xt y x- y

江西理工大学理学院 2.观察法: 凭观察凑微分得到 µ(x, y) 常见的全微分表达式 ⎟⎟⎠⎞ ⎜⎜⎝⎛ + + = 2 2 2 x y xdx ydy d ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = − xy d x xdy ydx 2 ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = +− xy d x y xdy ydx arctan 2 2 d ( ) xy xy xdy ydx = ln + ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ = + ++ ln( ) 21 2 2 2 2 d x y x y xdx ydy ⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ −+ = −− x y x y d x y xdy ydx ln 21 2 2

江画工太猩院 可选用的积分因子有 111 xt y x x x+yy2x2京 例3求微分方程 (3x+y2)x+(x2+xy)=0的通解. 1OP00 d 解 )=,∴μ(x)=ex=x 则原方程为 (3xy+x)x+(x+xy)=0

江西理工大学理学院 可选用的积分因子有 , , . 1 , 1 , 1 , 1 2 2 2 2 2 2 2 等 x y y x x + y x x y x + y ( 3 ) ( ) 0 . 2 2 的通解 求微分方程 xy + y dx + x + xy dy = 解 , 1 ( ) 1 x x Q y P Q = ∂ ∂ − ∂ ∂ Q ∫ ∴ = dx x x e 1 µ( ) = x . 例 3 则原方程为 ( 3 ) ( ) 0 , 2 2 3 2 x y + xy dx + x + x y dy =