江西理工大学理学院：《高等数学》第二章 导数与微分（2-1）导数的概念

江画工太猩院 第二章 导数与微分

江西理工大学理学院 第二章 导数与微分

江画工太猩院 第1节 导数的概念

江西理工大学理学院 第 1 节 导数的概念

江画工太猩院 问题的提出 1、自由落体运动的瞬时速度问题 如图,求t时刻的瞬时速度, 取一邻近于的时刻,运动时间A,"12 平均谏府,4S-S0g At t 02 当t→t时,取极限得 瞬时速度v=lim g(+) to

江西理工大学理学院 一、问题的提出 1、自由落体运动的瞬时速度问题 0t ∆t , 求t 0时刻的瞬时速度 t 如图, , 0 取一邻近于t 的时刻t 运动时间∆t, t s v ∆ ∆ 平均速度 = 0 0 t t s s − − = ( ). 2 0t t g = + , 当 t → t0时 取极限得 2 (t t) lim 0 0 + = → g v t t 瞬时速度 . g 0 = t

江画工太猩院 2、切线问题割线的极限位置—切线位置 播放

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江画工太猩院 如图,如果割线MN绕点 y=f(x M旋转而趋向极限位置 MT直线MT就称为曲线 C在点M处的切线 极限位置即 rx MN→0,∠MT→0.设M(x0,0),N(x,y 割线M的斜率为mp=y==1(x)-(x), x-xo x-xo N。沿曲C→M,x→X 切线MT的斜率为k=tana=im f(x)-f(x0) x=xo x-xo

江西理工大学理学院 α ϕ T x0 o x x y y = f (x) C N M 如图, 如果割线MN绕点 M旋转而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线. 极限位置即 MN → 0,∠NMT → 0. ( , ), ( , ). 0 0 设 M x y N x y 割线MN的斜率为 0 0 tan x x y y − − ϕ = , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x − − = , , 0 N M x x ⎯沿曲线 ⎯ →⎯⎯C → 切线MT的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x − − = α = →

江画工太猩院 导数的定义 1、定义设函数y=f(x)在点x1的某个邻域内 有定义,当自变量x在x处取得增量Ax(可正 可负,且点x0+x仍在该邻域内)时,相应地 函数y取得增量4y=f(xn+4x)-f(x);如果 4与A之比当Ax→>0时的极限存在,则称函 数y=f(x)在点x处可导,并称这个极限为函 数y=f(x)在点x处的导数,记为yg=

江西理工大学理学院 二、导数的定义 ( ) , , ( ) , 0 , ( ) ( ); ) , , ( ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y f x x y y f x x y x x y y f x x f x x x x x x y f x x = = ′ = → = + − + = 数 在点 处的导数 记为 数 在点 处可导 并称这个极限为函 与 之比当 时的极限存在 则称函 函数 取得增量 如果 可负，且点 仍在该邻域内 时 相应地 有定义 当自变量 在 处取得增量 可正 设函数 在点 的某个邻域内 ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ 1、定义

江画工太猩院 或 df(x r=ro r=x y吗0zhin∫(x+△r)-f(x) △Δ 其它形式f(x)=im f(x0+h)-f(x0) h-0 f(ro = lim f(x)-f(x0) x→x0X-x

江西理工大学理学院 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h + − ′ = 其它形式 → . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − ′ = → x f x x f x x y y x x x x ∆ + ∆ − = ∆ ∆ ′ = ∆ → ∆ → = ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 , ( ) x x0 x x0 dx df x dx dy = 或 = 即

江画工太猩院 关于导数的说明: ★点导数是因变量在点x处的变化率,它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度. ★如果函数y=f(x)在开区间I内的每点 处都可导,就称函数f(x)在开区间内可导

江西理工大学理学院 . , 0 慢程度 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 点导数是因变量在点 x 处的变化率 它 , ( ) . ( ) 处都可导 就称函数 在开区间 内可导 如果函数 在开区间 内的每点 f x I y = f x I ★ ★ 关于导数的说明：

江画工太猩院 ★对于任一x∈,都对应着∫(x)的一个确定的 导数值这个函数叫做原来函数f(x)的导函数 中成“(x) 记作y,f(x,或 d x dx 即y’=lim f(x+△x)-∫(x) Ax→0 或∫(x)=lim f(+h-f(r) h-0 h 注意f(x)=f(x)=x

江西理工大学理学院 . ( ) , ( ), . ( ) . , ( ) dx df x dx dy y f x f x x I f x 记作 或 导数值 这个函数叫做原来函数 的导函数 对于任一 都对应着 的一个确定的 ′ ′ ∈ x f x x f x y x ∆ + ∆ − ′ = ∆ → ( ) ( ) lim 0 即 . ( ) ( ) ( ) lim0 h f x h f x f x h + − ′ = → 或 注意: 1. ( ) ( ) . 0 x x0 f x f x = ′ = ′ ★

江画工太猩院 、导函数(瞬时变化率)是函数平均变化率的逼 近函数 50

江西理工大学理学院 播放播放 2、导函数 (瞬时变化率 )是函数平均变化率的逼 近函数