云南师范大学：《数学建模与数学实验》课程PPT教学讲义_第13讲 回归分析（费培之）

(数学模型 回归分析

2021/2/24 1 回归分析

数学模型 实验目的 1、直观了解回归分析基本内容。 2、掌握用数学软件求解回归分析问题。 实验内容 1、回归分析的基本理论。 2、用数学软件求解回归分析问题。 3、实验作业

实验目的 实验内容 2、掌握用数学软件求解回归分析问题。 1、直观了解回归分析基本内容。 1、回归分析的基本理论。 3、实验作业。 2、用数学软件求解回归分析问题

(数学模型 回归分析 一元线性回归 多元线性回归 兹检|岁 数学模型及定义 回践学 多k 步 归性模 型 线 店厕的k 份 归排 2021/2/24 的

2021/2/24 3 一元线性回归 多元线性回归 回归分析 数 学 模 型 及 定 义 * 模 型 参 数 估 计 * 检 验 、 预 测 与 控 制 可 线 性 化 的 一 元 非 线 性 回 归 （ 曲 线 回 归 ） 数 学 模 型 及 定 义 * 模 型 参 数 估 计 * 多 元 线 性 回 归 中 的 检 验 与 预 测 逐 步 回 归 分 析

(数学模型 数学模型 例1测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下: 身高14314514614714915015315415556157158159160162164 腿长88858891「9939395%69897%69899100102 以身高x为横坐标,以腿长y为纵坐标将这些数据点(x;,y;) 在平面直角坐标系上标出 解答 y=Bo+x+a 2021/2/24 散点图

2021/2/24 4 一、数学模型 例1 测16名成年女子的身高与腿长所得数据如下： 身高 143 145 146 147 149 150 153 154 155 156 157 158 159 160 162 164 腿长 88 85 88 91 92 93 93 95 96 98 97 96 98 99 100 102 以身高x为横坐标，以腿长y为纵坐标将这些数据点（xI，yi） 在平面直角坐标系上标出. 140 145 150 155 160 165 84 86 88 90 92 94 96 98 100 102 散点图 y =  +  x + 0 1 解答

数 般地,称由y=B+B1x+确定的模型为一元线性回归模型 记为 ∫y=B+Bx+E Ec=0. De=a2 固定的未知参数B0、B1称为回归系数,自变量x也称为回归变量 X=B+B1x,称为y对x的回归直线方程 一元线性回归分析的主要任务是: 1、用试验值(样本值)对β。、B1和σ作点估计; 2、对回归系数B、B1作假设检验; 3、在x=x处对y作预测,对y作区间估计 2021/2/24 返回

2021/2/24 5 一般地，称由 y =  +  x +  0 1 确定的模型为一元线性回归模型， 记为    = = = + + 2 0 1  0,      E D y x 固定的未知参数  0 、 1 称为回归系数，自变量 x 也称为回归变量. 一元线性回归分析的主要任务是： 1、用试验值（样本值）对  0 、 1 和 作点估计； 2、对回归系数  0 、 1 作假设检验； 3、在 x= 0 x 处对 y 作预测，对 y 作区间估计. Y x =  0 + 1 ，称为 y 对 x的回归直线方程. 返回

数学模型 二、模型参数估计 1、回归系数的最小二乘估计 有n组独立观测值,(x,y1),(x2,y2),…,(xn,yn) 设 =B1+t1+6,=12,n EE1=0,DE1=02且E1E2…,En相互独立 记9=Q(,B)=∑62=∑(-Bb-B1x,) i=1 最小二乘法就是选择B0和B1的估计B0,B1使得 Q(Bo, B)=min @(Bo, Bu) Bo, Bi 2021/2/24

2021/2/24 6 二、模型参数估计 1、回归系数的最小二乘估计 有 n 组独立观测值，（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn） 设    = = = + + = i i 且 ， n 相互独立 i i E D y x i n          0, ..., , 1,2,..., 1 2 2 0 1 记  ( ) = = = = = − − n i i i n i i Q Q y x 1 2 0 1 1 2 0 1 ( ,  )    最小二乘法就是选择 0 和 1 的估计 0  ˆ ， 1  ˆ 使得 ) min ( , ) ˆ , ˆ ( 0 1 , 0 1 0 1       Q = Q

(数学模型 Bo=y-BIx ∑(x-x)y,-y) 解得1B xy-xy或B1 DX ∑(x-x) 单中=2x= 2xx=2x! (经验)回归方程为:=B+Bx=y+B1(x-x) 2021/2/24

2021/2/24 7      − − = = − 2 2 1 0 1 ˆ ˆ ˆ x x xy x y y x    解得 其中   = = = = n i i n i i y n x y n x 1 1 1 , 1 ，   = = = = n i i i n i i x y n x x y n x 1 1 2 2 1 , 1 . （经验）回归方程为: ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ 0 1 1 y =  +  x = y +  x − x 或 ( )( ) ( )  = = − − − = n i i n i i i x x x x y y 1 2 1 1  ˆ

(数学模型 2、2的无偏估计 记Q=0B,B)=∑(--Bx)=∑(y1-) 称Q为残差平方和或剩余平方和 a2的无偏估计为G2=Q。/(n-2) 称G2为剩余方差(残差的方差),G2分别与B0、月独立 称为剩余标准差 2021/2/24 返回 8

2021/2/24 8 2、 2  的无偏估计 记 ( )  = = = = − − = − ni ni e i i i i Q Q y x y y 1 1 2 2 0 1 0 1 ( ˆ ) ˆ ˆ ) ˆ , ˆ (    称 Qe为残差平方和或剩余平方和. 2  的无偏估计 为 ˆ ( 2) 2  e = Qe n − 称 2 ˆ e 为剩余方差（残差的方差）， 2 ˆ e 分别与 0 ˆ 、 1ˆ 独立 。  e ˆ 称为剩余标准差. 返回

数学模型 三、检验、预测与控制 1、回归方程的显著性检验 对回归方程Y=β+B1x的显著性检验,归结为对假设 H:B1=0;H1:B1≠0 进行检验 假设Ho:B1=0被拒绝,则回归显著,认为y与x存在线性关 系,所求的线性回归方程有意义;否则回归不显著,y与ⅹ的关系 不能用一元线性回归模型来描述,所得的回归方程也无意义. 2021/2/24

2021/2/24 9 三、检验、预测与控制 1、回归方程的显著性检验 对回归方程Y x =  0 + 1 的显著性检验，归结为对假设 H0 : 1 = 0;H1 : 1  0 进行检验. 假设 H0 : 1 = 0 被拒绝，则回归显著，认为 y 与 x 存在线性关 系，所求的线性回归方程有意义；否则回归不显著，y 与 x 的关系 不能用一元线性回归模型来描述，所得的回归方程也无意义

(数学模型 (I)F检验法 U 当H0成立时,F ~F(1,n-2) Q。/(n-2) 其中U=∑(,-y)(回归平方和) 故F>F1a(,n-2),拒绝H0,否则就接受H0 (Ⅱ)t检验法 当H0成立时,T= √L=B ~t(n-2) 故>ta(n-2),拒绝H0,否则就接受H 其中Lx=∑(x1-x)2=∑x2-nx2 2021/2/24

2021/2/24 10 （Ⅰ）F检验法 当 H0 成立时， /( − 2) = Q n U F e ~ F（1，n-2） 其中 ( ) = = − n i i U y y 1 2 ˆ （回归平方和） 故 F > (1, 2) F1− n − ，拒绝 H0 ，否则就接受 H0 . （Ⅱ）t检验法   = = = − = − n i i n i xx i L x x x nx 1 2 2 1 2 其中 ( ) 当 H0 成立时， e Lxx T   ˆ ˆ 1 = ~ t（n-2） 故 ( 2) 2 1  − − T t  n ，拒绝 H0 ，否则就接受 H0