江西理工大学理学院：《高等数学》第十章 无穷级数（10-2）正项级数审敛法

江画工太猩院 第二节 正项級数审敛法

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江画工太猩院 、正项级数及其审敛法 1定义:如果级数∑中各项均有n20, 这种级数称为正项级数 定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数 2正项级数收敛的充要条件:S1≤2≤…SSn≤… 部分和数列{Sn为单调增加数列 定理 正项级数收敛部分和所成的数列s有界

江西理工大学理学院 一、正项级数及其审敛法 1.定义: 如果级数 中各项均有 0， 1 ∑ ≥ ∞ = n n u n u 这种级数称为正项级数. 2.正项级数收敛的充要条件: s 1 ≤ s 2 ≤ L ≤ s n ≤ L 定理 正项级数收敛 部分和所成的数列 有界 . n ⇔ s 部分和数列 为单调增加数列. { } n s 定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数

江画工太猩院 3比较审敛法设∑n和∑"均为正项级数, -nel nel 且nsn(n=12,若∑"收敛,则∑4收敛 1-=1 反之,若∑n发散,则∑"发散 1E 证明()设σ=∑n∵nsn, n-=1 且sn=1+2+…+mn≤V+2+…+"n≤0, 即部分和数列有界∑收鲛

江西理工大学理学院 且u ≤ v (n = 1,2,L) n n ,若∑ ∞ n=1 n v 收敛,则∑ ∞ n=1 un收敛； 反之，若∑ ∞ n=1 un发散，则∑ ∞ n=1 n v 发散. 证明 n u u un 且s = 1 + 2 +L+ ∑ ∞ = σ = 1 (1) n n 设 v , n n Qu ≤ v ≤ σ, 即部分和数列有界 . 1 ∑ 收敛 ∞ = ∴ n un 设∑ 和∑ 均为正项级数， ∞ = ∞ =1 n 1 n n n 3.比较审敛法 u v n ≤ v + v +L+ v 1 2

江画工太猩院 (2)设Sn→>(m→∞)且un≤Vn, 则Gn≥Sn→不是有界数列 ∑v发散.定理证毕 n-=1 推论:若∑Ln收敛(发散) 且nskn2 N)( s").则∑收敛(发散) h= 比较审敛法的不便:须有参考级数

江西理工大学理学院 n n 则σ ≥ s (2) s → ∞ (n → ∞) 设 n , n n 且 u ≤ v → ∞ 不是有界数列 . 1 ∑ 发散 ∞ = ∴ n n v 推论: 若∑ ∞ n=1 un 收敛(发散) 且 ( )( ) n n n n v ≤ ku n ≥ N ku ≤ v , 则∑ ∞ n=1 n v 收敛(发散). 定理证毕. 比较审敛法的不便: 须有参考级数

江画猩工式塑辱院 例1讨论P级数 1+—-+—-+—+…+ 的收敛性(P>0) 23″4 解设ns,:11 则P-级数发散. nn 设p>L由图可知1 n x y==(P> =1+-+-+… n d x x <1+ +… x

江西理工大学理学院 例 1 讨论 P-级数 + p + p + p + L + p + L n 1 4 1 3 1 2 1 1 的收敛性. ( p > 0 ) 解 设 p ≤ 1 , , 1 1 n n p Q ≥ 则 P −级数发散 . 设 p > 1 , o y x ( 1 ) 1 = p > x y p 1 2 3 4 由图可知 ∫ − < n n p p x dx n 1 1 n p p p n s 1 3 1 2 1 = 1 + + + L + ∫ ∫ − ≤ + + + n n p p x dx x dx 1 2 1 1 L

江画工太猩院 1+ rp n 々)时,收敛 当≤时,发散 重要参考级数:几何级数,P级数,调和级数

江西理工大学理学院 ∫ = + n p xdx 1 1 ) 1 (1 1 1 1 −1 − − = + p p n 1 1 1 − − 当 时 发散 当 时 收敛 级数 1 , 1 , pp P 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数

江画工太猩院 例2证明级数∑ 是发散的. n=lV n(n+1) 证明 n(n+1)n+1 而级数∑一发散, n=in+ 级数∑ 发散 n、mn+1) 例3证明级数∑,是收敛的 h=1 证明S2(n2)而级数∑2收敛, n n 级数∑1收敛 n n=14

江西理工大学理学院 例 2 证明级数 ∑ ∞ = 1 ( + 1 ) 1 n n n 是发散的 . 证明 , 1 1 ( 1 ) 1 + > n n + n Q , 1 1 1 ∑ ∞ = + n n 而级数 发散 . ( 1 ) 1 1 ∑ ∞ = + ∴ n n n 级数 发散 例 3 证明级数 ∑ ∞ = 1 1 n n n 是收敛的 . 证明 , ( 2 ) 1 1 2 ≤ n ≥ n n Q n 而级数 ∑ 收敛, ∞ = 1 2 1 n n 级数 ∑ 收敛. ∞ = ∴ 1 1 n n n

江画工太猩院 4比较审敛法的极限形式: 设∑un与∑V1都是正项级数如果 n→0 n=1 则()当0<l<+时二级数有相同的敛散性; ()当1=0时,若∑收敛则∑4收敛: 1=1 )当1=+∞时若∑发散则∑n发散; n=1 n=1

江西理工大学理学院 4.比较审敛法的极限形式: 设 ∑ ∞ n = 1 u n 与 ∑ ∞ n = 1 n v 都是正项级数,如果 则(1) 当 时,二级数有相同的敛散性; (2) 当 时，若 收敛,则 收敛; (3) 当 时, 若 ∑ ∞ n = 1 n v 发散,则 ∑ ∞ n = 1 u n 发散; lim l , v u n n n = → ∞ 0 < l < + ∞ l = 0 l = + ∞ ∑ ∞ n = 1 n v ∑ ∞ n = 1 u n

江画工太猩院 证明(1)由im"=l对于E=>0 1→ n 彐N,当n>N时,1-N 由比较审敛法的推论,得证

江西理工大学理学院 证明 l v u n n n = →∞ (1)由lim 0, 2 = >l 对于ε ∃ N, 当n > N时, 2 2l l v l u l nn − 由比较审敛法的推论, 得证

江画工太猩院 5极限审敛法 设∑n为正项级数, im -h =l>0 1→0 如果 lim nu=1>0(或immn=), 1→00 1→00 则级数∑un发散; 1l→0 如果有p>1,使得imn"un存在 n-→0三 则级数∑n收敛

江西理工大学理学院 设∑ ∞ n=1 un 为正项级数, 如果lim = > 0 →∞ nu l n n (或 = ∞ →∞ n n lim nu ), 则级数∑ ∞ n=1 un 发散; 如果有 p > 1, 使得 n p n n u →∞ lim 存在, 则级数∑ ∞ n=1 un 收敛. 5.极限审敛法： lim 0 1 = > →∞ l u n n n l u p n n n = →∞ 1 lim