江西理工大学理学院：《高等数学》第七章 多元函数微分学（7-7）多元函数极值及其应用

江画工太猩院 第七节 多元画嘏值 及其应用

江西理工大学理学院 第七节 多元函数极值 及其应用

江西理工大学理学院 、问题的提出 实例:某商店卖两种牌子的果汁,本地牌子每 瓶进价1元,外地牌子每瓶进价1.2元,店主估 计,如果本地牌子的每瓶卖x元,外地牌子的 每瓶卖y元,则每天可卖出70-5x+4y瓶本 地牌子的果汁,80+6x-7y瓶外地牌子的果汁 问:店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益? 每天的收益为f(x,y) x-1(70-5x+4y)+(y-12)(80+6x-7y) 求最大收益即为求二元函数的最大值

江西理工大学理学院 实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价 1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估 计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的 每瓶卖 元，则每天可卖出 瓶本 地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁 问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？ x y 70 − 5 x + 4 y 80 + 6 x − 7 y 每天的收益为 f ( x , y ) = ( x − 1)(70 − 5 x + 4 y ) + ( y − 1 . 2)(80 + 6 x − 7 y ) 求最大收益即为求二元函数的最大值 . 一、问题的提出

江画工太猩院 、多元函数的极值和最值 观察二元函数z=的图形 x ty

江西理工大学理学院 二、多元函数的极值和最值 观察二元函数 x 2 y 2 的图形 e xy z + = − 播放播放

江画工太猩院 二元函数极值的定义 设函数z=∫(x,y)在点(x1,y0)的某邻域内 有定义,对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y) 若满足不等式∫(x,y)∫(x1,yn),则称函数在(x,y)有极 小值 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点

江西理工大学理学院 设函数z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于( , ) 0 0 x y 的点(x, y)： 若满足不等式 ( , ) ( , ) 0 0 f x y f x y ，则称函数在( , ) 0 0 x y 有极 小值； 1、二元函数极值的定义 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点

江画工太猩院 例1函数z=3x2+4y2 在(0,0)0处有极小值 例2函数z=-x2+y2 在(,0)处有极大值 例3函数z=x (3) 在(,0)处无极值

江西理工大学理学院 (1) (2) (3) 例1 在 处有极小值． 函数 (0,0) 3 4 2 2 z = x + y 例２ 在 处有极大值． 函数 (0,0) 2 2 z = − x + y 例３ 在 处无极值． 函数 (0,0) z = xy

江画工太猩院 2、多元函数取得极值的条件 定理1(必要条件) 设函数z=f(x,y)在点(x,)具有偏导数,且在 点(x1,n)处有极值,则它在该点的偏导数必然为 零:∫(x,y)=0,f(x)=0 证不妨设z=∫(x,y)在点(x1,y)处有极大值, 则对于(x,y)的某邻域内任意 (x,y)≠(x,y)都有f(x,y)<f(x1,yn)

江西理工大学理学院 定理 1（必要条件） 设函数 z = f ( x , y )在点 ( , ) 0 0 x y 具有偏导数，且在 点 ( , ) 0 0 x y 处有极值，则它在该点的偏导数必然为 零： f x ( x 0 , y 0 ) = 0， f y ( x 0 , y 0 ) = 0. 2、多元函数取得极值的条件 不妨设 z = f ( x , y )在点 ( , ) 0 0 x y 处有极大值 , 则对于 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内任意 ( x , y ) ≠ ( , ) 0 0 x y 都有 f ( x , y ) < ( , ) 0 0 f x y , 证

江画工太猩院 故当y=J,x≠x时,有f(x,y)<f(x1,yn, 说明一元函数f(x,y)在x=x处有极大值, 必有f(x0,y0)=0; 类似地可证f(x0,yn)=0. 推广如果三元函数n=f(x,y,x)在点P(x,Jn,n) 具有偏导数,则它在P(x1,y,1)有极值的必要条 件为 f(x,,列)=0,了(x,)=0, 0y0,40 )=0

江西理工大学理学院 故当 0 y = y ， 0 x ≠ x 时，有 f (x, y0 ) < ( , ) 0 0 f x y , 说明一元函数 ( , ) 0 f x y 在x = x0处有极大值, 必有 f x (x0 , y0 ) = 0; 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) = 0. 推广 如果三元函数u = f (x, y,z)在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 具有偏导数，则它在 ( , , ) 0 0 0 P x y z 有极值的必要条 件为 ( , , ) 0 f x x0 y0 z0 = ， ( , , ) 0 f y x0 y0 z0 = ， fz (x0 , y0 ,z0 ) = 0

江画工太猩院 仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零 的点,均称为函数的驻点 注意:驻点 极值点 例如,点(.).函数z=xy的驻点,但不是极值点 问题:如何判定一个驻点是否为极值点? 定理2(充分条件) 设函数z=f(x,y)在点(x,yb)的某邻域内连续, 有一阶及二阶连续偏导数

江西理工大学理学院 例如, 点(0,0)是函数z = xy的驻点，但不是极值点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 驻点 极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 定理 2（充分条件） 设函数z = f(x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某邻域内连续， 有一阶及二阶连续偏导数， 注意：

江画工太猩院 又∫x(x0,)=0,(x0,)=0, A MM(ro, yo)=A, f(o, yo)=B, f(x0,y0)=C, 则f(x,y)在点(x6,y)处是否取得极值的条件如下 (1)AC-B2>0时具有极值, 当A0时有极小值; (2)AC-B2<0时没有极值; (3)AC-B2=0时可能有极值.,也可能没有极值, 还需另作讨论

江西理工大学理学院 又 f x (x0 , y0 ) = 0, ( , ) 0 f y x0 y0 = ， 令 f xx (x0 , y0 ) = A， f xy (x0 , y0 ) = B， f yy ( x0 , y0 ) = C， 则 f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处是否取得极值的条件如下： （1） 0 2 AC − B > 时具有极值， 当A 0时有极小值； （2） 0 2 AC − B < 时没有极值； （3） 0 2 AC − B = 时可能有极值,也可能没有极值， 还需另作讨论．

江画工太猩院 例4求由方程x2+y2+x2-2x+2y 4z-10=0确定的函数乙=f(x,y)极值 解将方程两边分别对x,y求偏导 0x+21, x 2-4x=0 12+2+2-42-=0 由函数取极值的必要条件知,驻点为P(,-1), 将上方程组再分别对x,y求偏导数

江西理工大学理学院 例 4 求由方程x y z 2x 2y 2 2 2 + + − + −4z −10= 0确定的函数z = f(x, y)的极值 将方程两边分别对x, y求偏导 ⎩⎨⎧ + ⋅ ′ + − ′ = + ⋅ ′ − − ′ = 2 2 2 4 0 2 2 2 4 0 y y x x y z z z x z z z 由函数取极值的必要条件知, 驻点为P(1,−1), 将上方程组再分别对x, y求偏导数, 解