江西理工大学理学院：《高等数学》第七章 多元函数微分学（7-2）偏导数

江画工太猩院 第二节 偏导数

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江西理工大学理学院 偏导数的定义及其计算法 定义设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某一邻 域内有定义,当y固定在y而x在x处有增量 △x时,相应地函数有增量 f(+, yo)-f(,), 如果lim f(x+△,yf(y存在,则称 △x→0 △ 此极限为函数z=f(x,y)在点(x,y)处对x的 偏导数,记为

江西理工大学理学院 定义 设函数z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 的某一邻 域内有定义，当 y固定在 0 y 而 x在 0 x 处有增量 ∆x时，相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + ∆x y − f x y ， 如果 x f x x y f x y x ∆ + ∆ − ∆ → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称 此极限为函数z = f (x, y)在点( , ) 0 0 x y 处对x的 偏导数，记为 一、偏导数的定义及其计算法

江画工太猩院 az af ax x=xo Ox ,z-=;或f(x1,n) r=r y=yo y=yo y=yo 同理可定义函数乙=f(x,y)在点(x,y0)处对y 的偏导数,为 imn(,n+△y)-f(xny) △y->0 记为女0 ayla=xoay y,x2=或厂(x,) r=r y=yo y=o y=yo

江西理工大学理学院 同理可定义函数 z = f ( x , y )在点 ( , ) 0 0 x y 处对 y 的偏导数， 为 y f x y y f x y y ∆ + ∆ − ∆ → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记为 0 0 y y y x x z = ∂ = ∂ ， 0 0 y y y x x f = ∂ = ∂ ， 0 0 y y x x y z = = 或 ( , ) 0 0 f x y y . 0 0 y y x x x z = ∂ = ∂ ， 0 0 y y x x x f = ∂ = ∂ ， 0 0 y y x x x z = = 或 ( , ) 0 0 f x y x

闪西 大兽院 如果函数z=f(x,)在区域D在点 (x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就 是x、y的函数,它就称为函数z=f(x,y)对自 变量x的偏导函数,简称偏导数 记作,9 aro,z或f(x,y) 同理可以定义函数乙=f(x,y)对自变量y 的偏导数,记作 y’@’或(xy 求函数乙=f(x,y)对自变量x的偏导数时, 只要将p看作常量,求z对x的导数

江西理工大学理学院 如果函数z = f ( x, y)在区域 D内任一点 (x, y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就 是x、 y的函数，它就称为函数z = f (x, y)对自 变量x的偏导函数，简称偏导数 记作 x z ∂ ∂ ， x f ∂ ∂ ， x z 或 f (x, y) x . 同理可以定义函数z = f (x, y)对自变量 y 的偏导数，记作 y z ∂ ∂ ， y f ∂ ∂ ， y z 或 f (x, y) y . 求函数z = f (x, y)对自变量x的偏导数时， 只要将 y看作常量，求z对x的导数

江画工太猩院 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如Ⅱ=∫(x,y,)在(x,y,z)处 ∫(xy列=加f(x+△m,,孔-∫(x,,x) △x→0 f,(r, 3, ) =lim f(x,y+Δy,z)-f(x,y,z y 4y→0 y ∫:(x,y,z)=lim f(x,y,+△x)-f(x,y,) Ax→0

江西理工大学理学院 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 在处 u = f ( x , y , z ) ( x , y , z ) , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim0 x f x x y z f x y z f x y z x x ∆ + ∆ − = ∆ → , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim0 y f x y y z f x y z f x y z y y ∆ + ∆ − = ∆ → . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim0 z f x y z z f x y z f x y z z z ∆ + ∆ − = ∆ →

江画工太猩院 例1求z=x2+3y+y2在点(1,2处的偏导数, 解 2x+3 y 3x+21 Jy 07 a/1=2x1+3×2=8, 0y=3×1+2×2=7, y=2

江西理工大学理学院 例 1 求 2 2 z = x + 3xy + y 在点(1,2)处的偏导数． 解 = ∂∂xz 2x + 3 y ; = ∂∂yz 3x + 2 y . = ∂ ∂ ∴ = = 2 1 y x x z 2×1+ 3× 2 = 8 , = ∂ ∂ = = 2 1 y x y z 3×1+ 2× 2 = 7

江画工太猩院 例2设z=x"(x>0,x≠1), 求证 x Oz 1 dz =2: y x nx 证 yx r nr ay xO107 r nr y ax Inx ay y nx =xy+x"=2z.原结论成立

江西理工大学理学院 例 2 设 y z = x ( x > 0, x ≠ 1)， 求证 z y z x x z y x 2 ln 1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ . 证 = ∂ ∂ x z , y−1 yx = ∂∂yz x ln x, y y z x x z y x ∂ ∂ + ∂ ∂ ln 1 x x x yx y x y y ln ln 1 1 = + − y y = x + x = 2z. 原结论成立．

江画工太猩院 x 例3设z= arcsin ,求 x t y 解 0 式 x t y x t y 2 (y2=y) lyI v(x'+y ly

江西理工大学理学院 例 3 设 2 2 arcsin x y x z + = ，求 x z ∂ ∂ ， y z ∂ ∂ . 解 = ∂ ∂ x z ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ + − x x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 | | ( x y ) y y x y + ⋅ + = . | | 2 2 x y y + = ( | |) 2 y = y

江画工太猩院 x x t y xy y2) gn-(y≠0) 不存在 x:0

江西理工大学理学院 = ∂ ∂ y z ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⋅ + − y x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 ( ) ( ) | | x y xy y x y + − ⋅ + = x y y x 1 sgn 2 2 + = − ( y ≠ 0 ) 0 0 = ∂ ≠ ∂ y y x z 不存在．

江画工太猩院 例4已知理想气体的状态方程pV=RT (R为常数,求证:9.07 av at ap Rt Op RT 证p Rt aV R T pV、0T aT r Op R op orar=RT R. -RT=-1 av aT Op Vpr pr

江西理工大学理学院 例 4 已知理想气体的状态方程 pV = RT （R为常数），求证： = −1 ∂∂⋅ ∂∂⋅ ∂∂ pT TV Vp . 证 = ⇒ VRT p ; 2 VRT Vp = − ∂∂ = ⇒ p RT V ; p R T V = ∂ ∂ = ⇒ R pV T ; RV pT = ∂∂ = ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ ⋅ ∂ ∂ p T T V V p 2 V RT − p R ⋅ R V ⋅ = −1. pV RT = −