《经济数学基础》课程教学资源：第七章 定积分的应用（7.4）可分离变量的微分方程

经济数学基础 第7章定积分的应用 第四单元可分高变量的微分方程 、学习目标 通过本节课的学习,掌握可分离变量的微分方程的解法. 、例题讲解 什么是可分离变量的微分方程,如果一般形式y=f(x,y)的微分方程可以变 形为y=g1(x)g2(0y) 这种形式的微分方程叫做可分离变量的微分方程.在这种情况下,可分离变量 为82()81(x)dx 两边分别求不定积分,左边对y求,右边对x求 dy 2()J8(x)dx 如果G2(0y),G(x)分别是82(y)和81(x)的原函数.得 dy=G 82(1)=2(y) g,(x)dx=G,(x) 即有G2(0)=G(x)+c 上式就是可分离变量的微分方程y=81(x)82(y)的通解,其中c是任意常数 三、例题讲解 g ap 例1 q(2)=300 204

经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——204—— 第四单元 可分离变量的微分方程 一、学习目标 通过本节课的学习，掌握可分离变量的微分方程的解法． 二、例题讲解 什么是可分离变量的微分方程，如果一般形式 y  = f (x , y) 的微分方程可以变 形为 ( ) ( ) 1 2 y  = g x g y 这种形式的微分方程叫做可分离变量的微分方程．在这种情况下，可分离变量 为 g x x g y y ( )d ( ) d 1 2 = 两边分别求不定积分，左边对 y 求，右边对 x 求   = g x x g y y ( )d ( ) d 1 2 如果 ( ) 2 G y ， ( ) 1 G x 分别是 ( ) 1 2 g y 和 ( ) 1 g x 的原函数．得 ( ) ( ) d 2 2 G y g y y =  ， ( )d ( ) 1 1 g x x = G x  即有 G (y) = G (x) + c 2 1 上式就是可分离变量的微分方程 ( ) ( ) 1 2 y  = g x g y 的通解，其中 c 是任意常数． 三、例题讲解 例 1      =  = − (2) 300 1 d d q p q q p ．

经济数学基础 第7章定积分的应用 解:分离变量得qP 两边积分q dph +In c,=In 得 In P 600 将9(2)=300代入上式得 302,即c=600中出得P 例2求y=y2+xy的通解 =y2+xy2=y2(1+x) d (1+x)d 解: 分离变量为 两边积分J(1+xdx1-(1+x)+c 1(1+x)2 十 方程y=y+xy的通解是y2 其中C是任意常数 四、课堂练习 求微分方程 νν的通解 此方程为可分离变量的微分方程y=81(x)82(),分离变量成为 81(x)d g2(y) 两端积分后便得到方程的通解,一般是隐函数的形式 205

经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——205—— 解：分离变量得 p p q dq d = − 两边积分   = − p p q dq d 得 ln q = −ln p + c p c p c 1 1 = −ln + ln = ln ， p c q 1 = 将 q(2) = 300 代入上式得 2 300 1 c = ，即 c1 = 600 ．由此得 p q 600 = 例 2 求 2 2 y  = y + xy 的通解． 解： (1 ) d d 2 2 2 y xy y x x y = + = + 分离变量为 x x y y (1 )d d 2 = + 两边积分   = + x x y y (1 )d d 2 得 c x y + + − = 2 1 (1 ) 2 方程 2 2 y  = y + xy 的通解是 c x y + + − = 2 1 (1 ) 2 其中 c 是任意常数． 四、课堂练习 求微分方程 y x y y  = + x + + 1 1 的通解． 此方程为可分离变量的微分方程 ( ) ( ) 1 2 y  = g x g y ，分离变量成为 g x x g y y ( )d ( ) d 1 2 = 两端积分后便得到方程的通解，一般是隐函数的形式．

经济数学基础 第7章定积分的应用 将带有y与dy的表达式放到方程的一端,将带有x与dx的表达式放到方程的 另一端,.原方程化为1+x+-(0+1=(1m和 dy ydy=(1+x)dx 整理得1+y 五、课后作业 求下列可分离变量的微分方程的通解 (1)Jhy+x=0:(2)1+y=e 2.求微分方程y=e满足初始条件y(O)=0的特解 y=h(e2+1) 1.(1) y=()J=-In(1-ce 206

经济数学基础 第 7 章 定积分的应用 ——206—— 将带有 y 与 d y 的表达式放到方程的一端，将带有 x 与 dx 的表达式放到方程的 另一端．原方程化为 ) 1 (1 ) (1 )(1 1 1 d d y x x y x x y = + + + = + + ；整理得 x x y y y (1 )d 1 d = + + 五、课后作业 1．求下列可分离变量的微分方程的通解： （1） y ln y + xy  = 0 ；（2） y 1+ y  = e . 2．求微分方程 x y y −  = 2 e 满足初始条件 y(0) = 0 的特解. 1．（1） x c y = e （2） ln(1 e ) x y = − − c 2． (e 1)] 2 1 ln[ 2 = + x y