《经济数学基础》课程教学资源：第五章 不定积分（5.3）导数与不定积分的关系

经济数学基础 第5章不定积分 第三单元号数与不定积分的关系一、学 习目标 通过本节课的学习,理解导数运算与不定积分运算之间的互逆关系 、内容讲解 我们来讨论两个问题,首先∫(x)=? 有两个答案给我们选择①f(x);②f(x)+C 要求f(x)的不定积分,也就是要看哪个函数的导函数是/(x),答案当然是 f(x).但另一方面不定积分是要求全体原函数,所以正确的选择是 ①f(x)x;②f(x)+cy Ep J/(x)dr=/(x)+c 再讨论第二个问题f(xx)=? 有三个答案给我们选择①f(x)+c;回f(x)+c;③f(x) 不定积分是被积函数的原函数,所以它的导数应该是被积函数,而导函数如 存在应是唯一的,所以正确的选择是①f(x)+Cx;②f(x)+c×③f(x)√ 即 ( f(x)dx)'=f(x) 148

经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——148—— 第三单元 导数与不定积分的关系一、学 习目标 通过本节课的学习，理解导数运算与不定积分运算之间的互逆关系． 二、内容讲解 我们来讨论两个问题，首先 ( )d = ?  f x x 有两个答案给我们选择① f (x) ；② f (x) + c 要求 f (x) 的不定积分，也就是要看哪个函数的导函数是 f (x) ，答案当然是 f (x) ．但另一方面不定积分是要求全体原函数，所以正确的选择是 ① f (x) ；② f (x) + c  即 f  x x = f x + c  ( )d ( ) 再讨论第二个问题 ( ( )d ) = ?  f x x 有三个答案给我们选择① f (x) + c ；② f (x) + c ；③ f (x) 不定积分是被积函数的原函数，所以它的导数应该是被积函数，而导函数如 存在应是唯一的，所以正确的选择是① f (x) + c ；② f (x) + c ③ f (x)  即 ( f (x)dx) = f (x) 

经济数学基础 第5章不定积分 请大家自己考虑一个问题J(x)dx)=? 由这两个问题我们了解到,导数和不定积分是两种互逆的运算 求导数←互→求不定积分 求导公式>积分公式 求导公式反过来就是积分公式 问题思考:在等式 (f(x)dx)'=f(x),If'(x)dx=f(x)+c 中,为什么前式不加C而后式 加C?答案因为前式是先求原函数后求导函数,导函数唯一,所以不加C;而后式是先求导 函数后求原函数,原函数不唯一,所以加 例题讲解 例求/(x) 分析:由微分定义有d(x)=f(xdx 解:由微分定义有()=(x)kx=/(x)+C:即求(xx 四、课堂练习 求(x)dr 由微分定义有()=((x)d,已知∫/()dy=f(x)所(xx 五、课后作业 149

经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——149—— 请大家自己考虑一个问题 d( ( )d ) = ?  f x x 由这两个问题我们了解到，导数和不定积分是两种互逆的运算． 求导数 ⎯互逆⎯→ 求不定积分 求导公式  积分公式 求导公式反过来就是积分公式． 问题思考：在等式 ( f (x)dx) = f (x)  和 f  x x = f x + c  ( )d ( ) 中，为什么前式不加 c 而后式 加 c ？答案因为前式是先求原函数后求导函数，导函数唯一，所以不加 c ； 而后式是先求导 函数后求原函数，原函数不唯一，所以加 c ． 三、例题讲解 例求  df (x)． 分析：由微分定义有 df (x) = f (x)dx 解：由微分定义有 f x = f  x x = f x + c   d ( ) ( )d ( ) ；即求  f (x)dx． 四、课堂练习 求 d( ( )d )  f x x ． 由微分定义有 d( f (x)dx) = ( f (x)dx)dx   ，已知 ( f (x)dx) = f (x)  所以 d( ( )d )  f x x =f(x)dx 五、课后作业

经济数学基础 第5章不定积分 1.求 ) 求 In x 150—

经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——150—— 1．求 ( e d ) 2   x x ；2．求   x x x ) d sin ( . 1． 2 e x ；2． C x x + sin