《经济数学基础》课程教学资源：第五章 不定积分（5.6）换元积分法

经济数学基础 第5章不定积分 第六单元换元积分法一、学习目标 通过本节课的学习,掌握不定积分的第一换元积分法(凑微分法).知道第 二换元积分法 内容讲解 我们再介绍两种计算不定积分J(x)的方法 第一换元积分法 这种方法是将被积函数凑成f(x)=f((x)n(x)的形式.或是将f(x)dx凑成 f(x)dx=f((x)dn(x)的形式(凑微分) 就是说将被积表达式f(x)dx凑成某个中间变量的函数f)乘以这个中间变 量的微分d.而f()的原函数f()是已知的或是容易求得的.此时就有 f(r)dx= F(u(x))+c 这种方法的关键是将凑出fxdx=f()dm,且(a)容易计算.我们称这 种方法为第一换元积分法(也称为凑微分法) 2.第二换元积分法: 这种方法是将积分变量作变量替换x=() 将被积函数f(x)变成f(x)=f(O)n(口)=f(口)的形式.或 f(x)dx= f(u(t)u(t) dt= fi(t)dt 即将被积表达式f(x)dx凑成某个中间变量的函数f()乘以这个中间变量的 微分4.而f()的原函数F()是已知或是容易求得的.此时就有 155

经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——155—— 第六单元 换元积分法一、学习目标 通过本节课的学习，掌握不定积分的第一换元积分法（凑微分法）．知道第 二换元积分法． 二、内容讲解 我们再介绍两种计算不定积分  f (x)dx 的方法． 1．第一换元积分法： 这种方法是将被积函数凑成 ( ) ( ( )) ( ) 1 f x = f u x u  x 的形式．或是将 f (x)dx 凑成 ( )d ( ( ))d ( ) 1 f x x = f u x u x 的形式（凑微分）． 就是说将被积表达式 f (x)dx 凑成某个中间变量 u 的函数 ( ) f 1 u 乘以这个中间变 量的微分 du． 而 ( ) f 1 u 的原函数 ( ) F1 u 是已知的或是容易求得的．此时就有 f x x = F u x + c  ( )d ( ( )) 1 这种方法的关键是将凑出 f (x)dx = f 1 (u)du ，且  f 1 (u)du 容易计算．我们称这 种方法为第一换元积分法（也称为凑微分法）． 2．第二换元积分法： 这种方法是将积分变量作变量替换 x = u(t) 将被积函数 f (x) 变成 ( ) ( ( )) ( ) ( ) 1 f x = f u t u  t = f t 的形式．或 f (x)dx f (u(t))u (t)dt f (t)dt = 1 =  即将被积表达式 f (x)dx 凑成某个中间变量 t 的函数 ( ) 1 f t 乘以这个中间变量的 微分 dt ．而 ( ) 1 f t 的原函数 ( ) 1 F t 是已知或是容易求得的．此时就有

经济数学基础 第5章不定积分 ∫f(x)dx=F((x)+c 这种方法的关键是()容易计算.我们称这种方法为第二换元积分法 三、例题讲解 将-2x看作一个整体,可以利用 e dx=e+c 例1求 积分公式 x)=-2dx d(-2x) 解 . 2x e+c 例2求 将3x-4看作一个整体,可 以利用积分公式 解 In/ dx=-d(3x-4) 3x-4‘3dx-4) d(3x-4)=h3x-4 x+ld 例3求 Idx 将x3+1看作一个整体,可以 利用积分公 x dx x2++ 式 +1

经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——156—— f x x = F u x + c −  ( )d ( ( )) 1 1 这种方法的关键是  f (t)dt 1 容易计算．我们称这种方法为第二换元积分法． 三、例题讲解 例 1 求  − x x e d 2 ． 解：  − x x e d 2 d( 2 ) 2 1 e 2  − − =  − x x e d( 2 ) 2 1 2  = − − − x x c x = − + −2 e 2 1 例 2 求  − x x d 3 4 1 ． 解：  − x x d 3 4 1   − − = d(3 4) 3 1 3 4 1 x x  − − = d(3 4) 3 4 1 3 1 x x = ln 3x − 4 + c 3 1 例 3 求  x x +1dx 2 3 ． 解：  x x +1dx 2 3 将-2x 看作一个整体，可以利用 积分公式 将 3x-4 看作一个整体，可 以利用积分公式 将 x 3+1 看作一个整体，可以 利用积分公 式

经济数学基础 第5章不定积分 dx==d(x3 1·d(x+1 (x2+1) =3x+dx+1)31+1 (x3+1)2+c 例4求 cos cos 解: =co(ydx=丁cosd() jcos udu=sinu+c 例5求 (n x) 解: x·(nx)dx In xd(n x) udu=-2

经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——157—— d( 1) 3 1 1 3 3 = +  +  x x 1d( 1) 3 1 3 3 = + +  x x x + + c + =  +1 2 1 3 ( 1) 1 2 1 1 3 1 = x + + c 2 3 3 ( 1) 9 2 例 4 求  x x x d 1 cos 2 ． 解：  x x x d 1 cos 2  =  x x x d 1 1 cos 2  =  −  x x x ) d 1 ( 1 cos  = − ) 1 d( 1 cos x x c x = − + 1 sin 例 5 求  x x x d ln ． 解：  x x x d ln  =  x x x d 1 ln  = ln x (ln x)dx  = ln xd(ln x) = x + c 2 (ln ) 2 1

经济数学基础 第5章不定积分 d 例6计算 分析:设法去掉被积函数的根号,将根式表达式用新变量替换 解:令√1-x=1,即有x=1-2,dx=-2dt.得 d (-21dt (22-2d 例7计拿Ja2-x2dx(a>0) 分析:设法去掉被积函数的根号,将根号下的表达式用变量替换变成完全平 方.用三角公式替换 解:令x=aSnt,dx= a cos td.得 a- sin -t acos tdt 1+cos2日 (1+cos 2r)dt COS (三角公式 (+Isin 2n)=arcsin X+xVa2-x+c (三角公式a2sm2=a2 sin t cost=2 asin tva2-a2smn2t 2asin tva2-(asin t) 四、课堂练习 8

经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——158—— 例 6 计算  − x x x d 1 ． 分析： 设法去掉被积函数的根号，将根式表达式用新变量替换． 解：令 1− x = t ，即有 2 x = 1− t , dx = −2tdt ．得  − x x x d 1  − − = t t t t ( 2 )d 1 2  = (2t − 2)dt 2 = t − 2t + c 3 2 3 = (1− x) − 2 1− x + c 3 2 3 例 7 计算 d ( 0) 2 2 −   a x x a ． 分析：设法去掉被积函数的根号，将根号下的表达式用变量替换变成完全平 方．用三角公式替换． 解：令 x = asin t ，dx = a costdt ．得  a − x dx 2 2  = a − a sin t  acostdt 2 2 2  = a cos tdt 2 2  = + t t a (1 cos 2 )d 2 2 （三角公式 2 1 cos 2 cos 2   + = ．） sin 2 ) 2 1 ( 2 2 t t a = + a x c x a a x = + − + 2 2 2 2 arcsin 2 （三角公式 a t a t t a t a a t 2 2 2 2 2 sin 2 = 2sin cos = 2 sin − sin 2 2 2 2 = 2asin t a − (asin t) = 2x a − x ．） 四、课堂练习

经济数学基础 第5章不定积分 练习1求不定积分∫(2x+d 把2x+1看作一个整体,用凑微分法.利用(ax+b)=a,或aqx+b)y=1 n(In x )d 练习2求不定积分x 把血x看作一个整体,用凑微分法 五、课后作业 求下列不定积分: (1) (x+5)d ;(2)J1-2x (3)Jxv2+rdx (4) (5)x2;(6)xh (7)Je"cos(e")dx (x+5)5+c -2x+c (2+x2)2+c ;(2) ;(3) e (4) (5)-e+C;(6) InIn x+ sin(e) 9

经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——159—— 练习 1 求不定积分  (2x +1) dx 10 ． 把 2x +1 看作一个整体，用凑微分法．利用 (ax + b) = a ，或 ( )] 1 1 [ ax + b  = a ． 练习 2 求不定积分  x x x sin(ln )d 1 ． 把 ln x 看作一个整体，用凑微分法． 五、课后作业 求下列不定积分： （1）  (x + 5) dx 4 ；（2）  − x x d 1 2 1 ；（3）  x 2 + x dx 2 ；（4）  − x x x e d 2 ； （5）  x x x d e 2 1 ；（6）  x x x d ln 1 ；（7）  x x x e cos(e )d ． （1） x + + c 5 ( 5) 5 1 ；（2） − ln 1− 2x + c 2 1 ；（3） + x + c 2 3 2 (2 ) 3 1 ； （4） c x − + − 2 e 2 1 ；（5） c x − + 1 e ；（6） ln ln x + c ；（7） c x sin( e ) +