《经济数学基础》课程教学资源：第六章 定积分（6.3）定积分的性质

经济数学基础 第6章定积分 第三单元定积分的性质 、学习目标 通过本节课的学习,不定积分的性质,熟悉定积分的直接积分法 二、内容讲解 1.先回顾不定积分的性质 性质1J(x)8(x)x=J(x)士(x)d 性质2 f()dx=kf(x)dx 定积分与原函数有着密切的关系,显然定积分也有类似的性质 2.定积分的性质 性质 「1(x)+g(x)dx=丁/(x)dx±J,s(x 性质 kf(x)dx=k。f(x)d 性质3()=小)+于 证:设(x)是f(x)的一个原函数,由NL公式 f(x)dx= F(6)-F(a) f(x)dx= F(c)-F(a) ∫(x)dx=F(b)-Fe ∫∫(x)dx+」/(x)dx=F()-F(a)+F(b)-F(l)=F(b)-F(a)=f(xkx 这个性质对计算定积分是非常重要的.性质中的c可以在区间a,b内,也可 以在区间a,b 177

经济数学基础 第 6 章 定积分 ——177—— 第三单元 定积分的性质 一、学习目标 通过本节课的学习，不定积分的性质，熟悉定积分的直接积分法． 二、内容讲解 1.先回顾不定积分的性质 性质 1.    [ f (x)  g(x)]dx = f (x)dx  g(x)dx 性质 2.   kf (x)dx = k f (x)dx 定积分与原函数有着密切的关系，显然定积分也有类似的性质． 2.定积分的性质： 性质 1.     =  b a b a b a [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx 性质 2.   = b a b a kf (x)dx k f (x)dx 性质 3.    = + b c c a b a f (x)dx f (x)dx f (x)dx 证：设 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，由 N——L 公式 f (x)dx F(b) F(a) b a = −  f (x)dx F(c) F(a) c a = −  f (x)dx F(b) F(c) b c = −  f (x)dx f (x)dx [F(c) F(a)] [F(b) F(c)] b c c a + = − + −    = − = b a F(b) F(a) f (x)dx 这个性质对计算定积分是非常重要的．性质中的 c 可以在区间 [a , b] 内，也可 以在区间 [a , b] 外．

经济数学基础 第6章定积分 例题讲解 「(x2+2 cos x)dx 例1计算 (x2+2 cos x)dx=[xdx+[2 cos xdx 解: CoS xdx =-x +2sin 例2求0 1.x≥1 解: 「x-dr+x-ldr (1-x)2(x-1) 「(-x)dx+∫(x-1)d =-+=1 四、课堂练习与作业 计算下列定积分 (1) 1≤x<0 f(x) 2.设函数 3√x,0≤x≤1 ,求f(x)r (2)hn232 178

经济数学基础 第 6 章 定积分 ——178—— 三、例题讲解 例 1 计算  +  0 2 (x 2cos x)dx ． 解：    + = +    0 0 2 0 2 (x 2cos x)dx x dx 2cos xdx   = +   0 0 2 x dx 2 cos xdx   0 0 3 2sin 3 1 = x + x 3 3 1 =  例 2 求  − 2 0 x 1dx ． 解：    −  −  − = 1 , 1 1 , 1 1 x x x x x    − = − + − 2 1 1 0 2 0 x 1dx x 1dx x 1dx   = − + − 2 1 1 0 (1 x)dx (x 1)dx 2 1 2 1 0 2 2 ( 1) 2 (1 ) − + − = − x x 1 2 1 2 1 = + = 四、课堂练习与作业 1．计算下列定积分 （1） − − 2 1 1 x dx ；（2）  + 1 0 2 (2 x )dx x ． 2．设函数       −   = 3 , 0 1 , 1 0 ( ) 2 x x x x f x ，求 − 1 1 f (x)d x ． 1．（1） 2 5 （2） 3 1 ln 2 1 + 2. 3 7