《经济数学基础》课程教学资源：第五章 不定积分（5.2）不定积分的定义

经济数学基础 第5章不定积分 第二单元不定积分的定义一、学习目标 通过本节课的学习,理解不定积分的概念 二、内容讲解 定义1.2——不定积分 f(x)的所有原函数的全体称为不定积分,记作∫(),其中f(x)称为被积 函数,x称为积分变量,称为积分符号. 问题思考:在2x的积分曲线族中,过原点的曲线是哪一条? 答案过原点的曲线是y= 三、例题讲解 例1求2x+x2的全体原函数 解:全体原函数就是2x+x的不定积分 「(2x+x2)dx=x2++c 例2求通过点(0,1)的曲线y=(x),使它在x点处的切线斜率为3 解:J3x2dx=x3+ 得到一族曲线y =x+c 曲线过点0,1),即y(0)=1,得到1=03+c=c所求曲线为y=x+1 146

经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——146—— 第二单元 不定积分的定义一、学习目标 通过本节课的学习，理解不定积分的概念． 二、内容讲解 定义 1.2——不定积分 f (x) 的所有原函数的全体称为不定积分．记作  f (x)dx，其中 f (x) 称为被积 函数， x 称为积分变量，  称为积分符号． 问题思考：在 2x 的积分曲线族中，过原点的曲线是哪一条？ 答案过原点的曲线是 2 y = x ． 三、例题讲解 例 1 求 2 2x + x 的全体原函数． 解：全体原函数就是 2 2x + x 的不定积分 c x x + x x = x + +  3 (2 )d 3 2 2 例 2 求通过点 (0, 1) 的曲线 y = f (x) ，使它在 x 点处的切线斜率为 2 3x ． 解： x x = x + c  2 3 3 d 得到一族曲线 y = x + c 3 曲线过点 (0, 1) ，即 y(0) = 1 ，得到 = + c = c 3 1 0 所求曲线为 1 3 y = x +

经济数学基础 第5章不定积分 课堂练习 练习1求4x+1的全体原函数 就是求4x+1的不定积分,先求一个原函数,再加任意常数即得.看哪个函数的导函数 4x+1图(2x2+x)=4x+1,所以[(4x+=2r 练习2求过点(0,2)的曲线y=f(x),使它在x点处的切线斜率为e 先求e的积分曲线族(即e的不定积分),再看曲线族中哪条曲线过点(0,2).由不定 积分求出C的积分曲线族.因为 edx=ex,切线斜率为e的曲线族是y=e+c 五、课后作业 1.求f(x)=2x-1的不定积分 2.已知曲线y=F(x)在任一点x(x>0)处的切线斜率为√x,试求过(,5)点 的曲线方程. x+c:2.y=2√x+x+ 147

经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——147—— 三、课堂练习 练习 1 求 4x +1 的全体原函数． 就是求 4x +1 的不定积分，先求一个原函数，再加任意常数即得．看哪个函数的导函数 是 4x +1 因为 (2 ) 4 1 2 x + x  = x + ，所以 x + dx = x + x + c  2 (4 1) 2 练习 2 求过点 (0, 2) 的曲线 y = f (x) ，使它在 x 点处的切线斜率为 x e ． 先求 x e 的积分曲线族（即 x e 的不定积分），再看曲线族中哪条曲线过点 (0, 2) ．由不定 积分求出 x e 的积分曲线族．因为 x c x x = +  e d e ，切线斜率为 x e 的曲线族是 y c x = e + ． 五、课后作业 1．求 f (x) = 2x −1 的不定积分. 2．已知曲线 y = F(x) 在任一点 x (x  0) 处的切线斜率为 1 1 + x ，试求过 (1, 5) 点 的曲线方程. 1． x − x + c 2 ；2． y = 2 x + x + 2