《经济数学基础》课程教学资源：第五章 不定积分（5.5）不定积分的性质

经济数学基础 第5章不定积分 第五单元不定积分的性质一、学习 目标 通过本节课的学习,记住不定积分的性质,熟悉不定积分的直接积分法. 二、内容讲解 先介绍不定积分的性质 积分基本性质: 1.若f(x),g(x)是可积函数,则有JUx)±8(x)dx=J/(x)dx士」g(x)u 2.若f(x)是可积函数,k为非0常数,则有, kf(x)dx=k f(x)dx 有了积分基本公式和这两条性质,我们就可以把一些基本的函数的不定积分计 算出来.例如 J(2x+x)dx=2xdx + xdx=2 xdx+ xdx=2.2x +3+c=x+3+c 这种利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法称 为直接积分法 三、例题讲解 例1求J√x(2+ 解: +1 5-x2+hn/x+c ==x2+hn xl+c 2 2

经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——152—— 第五单元 不定积分的性质一、学习 目标 通过本节课的学习，记住不定积分的性质，熟悉不定积分的直接积分法． 二、内容讲解 先介绍不定积分的性质 积分基本性质： 1.若 f (x), g(x) 是可积函数，则有    [ f (x)  g(x)]dx = f (x)dx  g(x)dx 2.若 f (x) 是可积函数， k 为非 0 常数，则有，   kf (x)dx = k f (x)dx 有了积分基本公式和这两条性质，我们就可以把一些基本的函数的不定积分计 算出来．例如    (2x + x )dx = 2xdx + x dx 2 2   = 2 xdx + x dx 2 =  x + x + c 2 3 3 1 2 1 2 = x + x + c 2 3 3 1 这种利用不定积分的运算性质和积分基本公式直接计算出不定积分的方法称 为直接积分法． 三、例题讲解 例 1 求  − x(x + x )dx 2 3 2 ． 解：    − − x(x + x )dx = x  x dx + x  x dx 2 3 2 2 3 2   − = x dx + x dx 2 1 5 x + x + c + = + ln 1 2 5 1 1 2 5 = x + ln x + c 7 2 2 7

经济数学基础 第5章不定积分 x 例2求 Je'e'dr=edx 解: 例3求 解 In 2 例4已知边际成本为29+3,固定成本为30,求总成本函数 解:因为C()=JC(q),有(2+3)山=92++c C(q)=q+3+c,将C()=30代入,得C=30, 总成本函数为C(q)=q2+3g+30 u-d 例5求 ∫n2dn=x+12n2+c 解: (x+1)d(x+1)=-(x+1)2+c 由变量替换得 (x+1)d +1)+C 注意到(x 若直接计算左端有 (x+1)'dx=xdx+ 2xdx+idx x3+3x2+3x+1 -x+x +x+c +c1-=(x+1)3+c 3 用变量替换的方法显然简单得多

经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——153—— 例 2 求  + x x d 2 e 3 ． 解：   + + x = x x x e d 2 1 d 2 e 3 3  = x x e e d 2 1 3  = x x e d 2 e 3 c x = e + 2 e 3 例 3 求  + x x x e (3 2 )d ． 解：    + x = x + x x x x x x e (3 2 )d 3e d e 2 d   = x + x x x 3 e d (2e) d c e e x x + + = + ln 2 1 2 3 2 例 4 已知边际成本为 2q + 3 ，固定成本为 30，求总成本函数． 解：因为  C(q) = C(q)dq ，有 q + q = q + q + c  (2 3)d 3 2 C(q) = q + 3q + c 2 ，将 C(0) = 30 代入，得 c = 30 ， 总成本函数为 ( ) 3 30 2 C q = q + q + 例 5 求  u du 2 ． 解： u u u = x + u + c  2 3 3 1 d 1 由变量替换得 x + x + = x + + c  2 3 ( 1) 3 1 ( 1) d( 1) 注意到 d(x +1) = dx ，即 x + x = x + + c  2 3 ( 1) 3 1 ( 1) d 若直接计算左端有     (x +1) dx = x dx + 2xdx + 1dx 2 2 1 3 2 3 1 = x + x + x + c 3 1 3 3 3 1 1 3 2 + − + + + = c x x x = x + + c 3 ( 1) 3 1 用变量替换的方法显然简单得多．

经济数学基础 第5章不定积分 四、课堂练习 求不定积分 x 可以利用函数的四则运算及幂函数的性质,将被积函数化为利用积分性质和积分基本公式 直接计算的积分 3 (2x dx 4 5 6 5 xc 五、课后作业 求下列不定积分: +√x)2 dx (1) lnx+4√x+x+ x+c (3)1+h3

经济数学基础 第 5 章 不定积分 ——154—— 四、课堂练习 求不定积分  − x x x x d 2 2 3 ． 可以利用函数的四则运算及幂函数的性质，将被积函数化为利用积分性质和积分基本公式 直接计算的积分．   = − − x x x x x x x x x )d 2 d ( 2 2 3 2 3  − − = (2x − x )dx 2 1 3 1 2 1 2  − = (2x − x )dx 6 1 2 3 = x − x + c 6 5 2 5 5 6 5 4 五、课后作业 求下列不定积分： （1）  + x x x d (1 ) 2 ；（2）  + − x x x d 2 4 2 ；（3）  − − x x x x e (3 e )d ． （1） ln x + 4 x + x + c （2） x − 2x + c 2 1 2 （3） x c x − + 1+ ln 3 (3e)