《经济数学基础》课程教学资源：第六章 定积分（6.4）定积分的换元积分法

经济数学基础 第6章定积分 第四单元定积分的换元积分法 、学习目标 通过本节课的学习,掌握定积分的换元积分法 二、内容讲解 定积分换元积分法 f(r)dx= f(u(x)u'(x)dx 右 且当x=a时,=a;当x=b时,=B,则 f(x)dx= f,(udu 三、例题讲解 例1计算 (3x-1)dx 解: 3~1d3x-1) 3x-1 (5-hn2) x2√4-3x3dx 例2计算 解:令4-3x3=u,d=-9xdx 179

经济数学基础 第 6 章 定积分 ——179—— 第四单元 定积分的换元积分法 一、学习目标 通过本节课的学习，掌握定积分的换元积分法． 二、内容讲解 定积分换元积分法 若   =  b a b a f (x)dx f (u(x))u (x)dx 1 且当 x = a 时， u = ；当 x = b 时， u =  ．则   =   f x x f u u b a ( )d 1 ( )d 三、例题讲解 例 1 计算  − 2 1 d 3 1 1 x x ． 解：  − 2 1 d 3 1 1 x x  −  − = 2 1 (3 1) d 3 1 1 3 1 x x x  − − = 2 1 d(3 1) 3 1 1 3 1 x x  − = 5 2 d 1 3 1 3 1 u u x u 5 2 ln 3 1 = u (ln 5 ln 2) 3 1 = − 例 2 计算  − 1 0 2 3 x 4 3x dx ． 解：令 − x = u 3 4 3 ，du 9x dx 2 = −  − 1 0 2 3 x 4 3x dx  =  − 1 4 )d 9 1 u ( u  = − 1 4 d 9 1 u u 27 14 3 2 9 1 1 4 2 3 = −  u =

经济数学基础 第6章定积分 侧3计算0-d(>0 分析:设法去掉被积函数的根号,将根号下的表达式用变量替换变成完全平 方.用三角公式替换 解:令x=asmt,dx=acos,且当x=0时,t=0;当x=a时 √a2-x2dx=[√a2-a2sin2t, a cos tdt=a2[cos2dt 得 ( cos 2n )d s20 1+cos 20 (三角公式 丌a 四、课堂练习 计算下列不定积分: (1) ;(2) 五、课后作业 计算下列定积分 (5) (2)e2-e-1 (3)3(4)hh3-hh2(5)丌 180—

经济数学基础 第 6 章 定积分 ——180—— 例 3 计算 d ( 0) 0 2 2 −   a x x a a ． 分析：设法去掉被积函数的根号，将根号下的表达式用变量替换变成完全平 方．用三角公式替换． 解：令 x = asin t ，dx = a costdt ，且当 x = 0 时， t = 0 ；当 x = a 时， 2  t = ． 得  − a a x x 0 2 2 d  = −  2 0 2 2 2 sin cos d  a a t a t t  = 2 0 2 2 cos d  a t t  = + 2 0 2 (1 cos 2 )d 2  t t a （三角公式 2 1 cos 2 cos 2   + = ） 4 sin 2 ) 2 1 ( 2 2 2 0 2 a t t a   =  + = 四、课堂练习 计算下列不定积分： （1）  e 1 2 d ln x x x ；（2）  − 2 0 2 x 4 x dx ． 五、课后作业 计算下列定积分： （1） − 2 − 2 2 7 e dx x ；（2）  − 2 1 2 1 d e x x x ；（3）  − 1 0 2 x 1 x dx ； （4）  3 2 d ln 1 x x x ；（5）  − a x x 0 2 4 d . （1） (e e ) 7 2 7 − 7 − （2） 2 1 1 e e − − − （3） 3 1 （4） ln ln 3−ln ln 2 （5） 