《高等数学》课程电子教案：第十一章（11.2）常数项级数的审敛法

章节题目 第二节常数项级数的审敛法 正项级数及其审敛法 交错级数及其审敛法 内|绝对收敛与条件收敛 容提要 几种审敛法:正项级数审敛法 交错项级数审敛法 般常数项项级数审敛法 重点分析 判定一般级数的敛散性 难点分析 题P21(单)、2(单)、3(单)、4(单)、5(单 布 备注

1 章 节 题 目 第二节 常数项级数的审敛法 内 容 提 要 正项级数及其审敛法 交错级数及其审敛法 绝对收敛与条件收敛 重 点 分 析 几种审敛法：正项级数审敛法 交错项级数审敛法 一般常数项项级数审敛法 难 点 分 析 判定一般级数的敛散性 习 题 布 置 P252 1（单）、2（单）、3（单）、4（单）、5（单） 备 注

教学内容 正项级数及其审敛法 1定义:如果级数∑u各项均有un≥0,这种级数称为正项级数 2正项级数收敛的充要条件:S≤S2≤…≤Sn≤…部分和数列{sn}为单调增加 数列 定理项级数收敛◇部分和所成的数列s有界 3比较审敛法 设∑u和∑均为正项级数,且un≤vn(m=1,2…) 若∑vn收敛, 则∑un 收敛:反之,若∑un发散,则∑n发散 证明(1)设σ= 0) 2

2 教 学 内 容 一、正项级数及其审敛法 1.定义: 如果级数 中各项均有 0， 1    = n n un u 这种级数称为正项级数. 2.正项级数收敛的充要条件: s1  s2  sn  部分和数列 { }n s 为单调增加 数列. 定理 正项级数收敛 部分和所成的数列 有界. n  s 3.比较审敛法 设 和 均为正项级数，  =  =1 n 1 n n n u v 且 u  v (n =1,2, ) n n , 若   n=1 n v 收敛,则   n=1 n u 收敛；反之，若   n=1 n u 发散，则   n=1 n v 发散. 证明   = = 1 (1) n n 设 v , n n u  v n u u un 且s = 1 + 2 ++ n  v + v ++ v 1 2 , 即部分和数列有界 . 1  收敛  =  n un (2) s → (n →) 设 n , n n 且u  v n n 则  s → 不是有界数列 . 1  发散  =  n n v 定理证毕. 推论: 若   n=1 n u 收敛(发散)且 n n v  ku (n  N) n n ku  v 则   n=1 n v 收敛(发散). 比较审敛法的不便: 须有参考级数. 例 1 讨论 P-级数 + p + p + p ++ p + n 1 4 1 3 1 2 1 1 的收敛性.( p  0) o y x ( 1) 1 = p  x y p 1 2 3 4

解设p≤1∵:2,则P-级数发散 设p>1,由图可知 dx =1+++… d =1+ 时,收敛 当≤时,发散 重要参考级数:几何级数P级数,调和级数 例2证明级数∑ 是发散的 √n(n+1) 1 证明 (n+1)n+1 而级数∑一;发散 级数∑ 发散 √m(n+1) 4比较审敛法的极限形式 设∑un与∑v都是正项级数如果m是n=1,则 (1)当00,3N,当m>M时,1-N)由比较审敛法的推论,得证 5.极限审敛法 设∑n为正项级数,如果lmmn=1>0(或mmn=∞),则级数∑un发散

3 解 设 p 1, , 1 1 n n p   则P −级数发散. 设 p 1, 由图可知  −  n n p p x dx n 1 1 n p p p n s 1 3 1 2 1 =1+ + ++   −  + + + n n p p x dx x dx 1 2 1 1   = + n p x dx 1 1 ) 1 (1 1 1 1 −1 − − = + p p n 1 1 1 −  + p 即 有界, n s 则P −级数收敛.      − 当 时 发散 当 时 收敛 级数 1 , 1 , p p P 重要参考级数: 几何级数, P-级数, 调和级数. 例 2 证明级数   =1 ( +1) 1 n n n 是发散的. 证明 , 1 1 ( 1) 1 +  n n + n  , 1 1 1   n= n + 而级数 发散 . ( 1) 1 1   = +  n n n 级数 发散 4.比较审敛法的极限形式: 设   n=1 n u 与   n=1 n v 都是正项级数,如果 lim l, v u n n n = → 则 (1) 当 0  l  + 时, 二级数有相同的敛散性 (2) 当 l = 0 时，若   n=1 n v 收敛, 则   n=1 n u 收敛 (3) 当 l = + 时, 若   n=1 n v 发散, 则   n=1 n u 发散 证明： l v u n n n = → (1)由lim 0, 2 =  l 对于 N, 当n  N时, 2 2 l l v l u l n n −   + ( ) 2 3 2 v n N l v u l 即 n  n  n  由比较审敛法的推论, 得证. 5.极限审敛法： 设   n=1 n u 为正项级数, 如果 lim =  0 → nu l n n (或 =  → n n lim nu ), 则级数   n=1 n u 发散;

如果有p>1,使得 lim n'u存在,则级数∑un收敛 例3判定下列级数的敛散性: (1) (2)23-n 解(1)∵ lim nsin-=lm-,n=1,原级数发散 (2)∵lm3nn=m1=1 1收敛故原级数收敛 6比值审敛法达朗贝尔 D'Alembert判别法): 设∑vn是正项级数如果mn2=p(数或+∞)则P1时 级数发散,p=1时失效 证明当/为有限数时,对v>03N,当n>N时,有址-pN) 当ρ时,取E1, 当m>M时,Ln1>mn>un,lmun≠0.发散

4 如果有 p 1, 使得 n p n n u → lim 存在, 则级数   n=1 n u 收敛. 例 3 判定下列级数的敛散性: (1)   =1 1 sin n n ; (2)   =1 3 − 1 n n n ; 解 (1) n n n 1 lim sin →  n n n 1 1 sin lim→ = = 1, 原级数发散. (2) n n n n 3 1 3 1 lim − →  n n n 3 1 1 lim − = → = 1, , 3 1 1  收敛  n=  n 故原级数收敛. 6.比值审敛法(达朗贝尔 D’Alembert 判别法)： 设   n=1 n u 是正项级数,如果 lim ( ) 1 = +  + →  数或 n n n u u 则  1 时级数收敛;  1 时 级数发散;  =1 时失效. 证明 当为有限数时, 对  0, N, 当n  N时, , 1 −    + n n u u 有 ( ) 1 n N u u n n −   +  + 即     当 1时, 取 1− , 使r =  +  1, , N+2  N+1 u ru , 1 2 N+3  N+2  uN+ u ru r  , , 1 1 + − +  N m uN m r u , 1 1 1   = + − m N m 而级数 r u 收敛 , 1 1   收敛  = +  =  + = n N u m uN m u 收敛 当 1时, 取   −1, 使r =  − 1, 当n  N时, , n 1 n un u +  ru  lim  0. → n n u 发散

比值审敛法的优点:不必找参考级数 两点注意 1.当p=1时比值审敛法失效, 例级数∑发散级数∑立收敛,(p=1) 2条件是充分的,而非必要 例∵ 2+(-1)”3 级数∑n 2+(-1 收敛 2+ lim a 3lmln=man不存在 2 noon 例4判别下列级数的收敛性 (1) 解() (n+1)! n+1 →0(n→∞)故级数∑收敛 (2)∵(n+1) n+1 ∞0(n→>∞) 10 故级数发散 nln(2n+1)(2n+2)=1 比值审敛法失效,改用比较审敛法 (2n-1,2n<n,;级数∑上收敛 故级数∑ 收敛 n2n(2n-1)

5 比值审敛法的优点: 不必找参考级数. 两点注意: 1.当  =1 时比值审敛法失效; , 1 1 例 级数 发散  n= n , 1 1 级数 2 收敛  n= n (  = 1) 2.条件是充分的,而非必要. , 2 3 2 2 ( 1) n n n n n u  = v + − 例  = , 2 2 ( 1) 1 1 级数  收敛  =  = + −  = n n n n un , 2(2 ( 1) ) 2 ( 1) 1 1 n n n n n a u u = + − + − = + 但 + , 6 1 lim 2 = → n n a , 2 3 lim 2 +1 = → n n a lim lim . 1 n 不存在 n n n n a u u → + →  = 例 4 判别下列级数的收敛性: (1)   =1 ! 1 n n ; (2)   =1 10 ! n n n ; (3)   = −  1 (2 1) 2 1 n n n . 解 (1) ! 1 ( 1)! 1 1 n n u u n n + =  + 1 1 + = n → 0 (n → ), . ! 1 1 故级数  收敛  n= n (2) ! 10 10 ( 1)! 1 1 n n u u n n n n  + = +  + 10 +1 = n →  (n → ), . 10 ! 1 故级数  发散  n= n n (3) (2 1) (2 2) (2 1) 2 lim 1 lim +  + −  = → + → n n n n u u n n n n  = 1, 比值审敛法失效, 改用比较审敛法 , 1 (2 1) 2 1 2 n n n  −   , 1 1 级数  2 收敛  n= n  . 2 (2 1) 1 1 故级数  收敛  n= n n −

7根值审敛法(柯西判别法) 设∑un是正项级数如果m√mn=p(为数或+∞),则p1时级数发散,p=1时失效 例如设级数∑1 →0(m→∞)级数收敛 二、交错级数及其审敛法 定义:正、负项相间的级数称为交错级数 (-1)”或∑(-1)"un(其中un>0 莱布尼茨定理如果交错级数满足条件 (i)un≥ln+1(n=1,2,3,…) ii)ln 0 则级数收敛且其和s≤n,其余项r的绝对值|sun 证明∵ln-1-un≥0 S2n=(1-2)+(l2-l4)+…+(u2-1-l2n) 数列s2n是单调增加的, 又S2n=1-(l2-3)-…-(l2n2-2n)-l2n≤1 数列s,是有界的, ims2n=S≤l1,∵lim2nt=0, Im S,m1 = lim(S,m,+um1) 级数收敛于和s,且s≤a1 余项r=+(n4-un12+…),|=un+-un2+ 满足收敛的两个条件,|≤Lm,定理证毕 例5判别级数∑(v 的收敛性

6 7.根值审敛法 (柯西判别法)： 设   n=1 n u 是正项级数,如果 =  → n n n lim u (为数或+),则  1 时级数收敛;  1 时级数发散;  =1 时失效. , 1 , 1   n= n n 例如 设级数 n n n n n u 1  = n 1 = → 0 (n → ) 级数收敛. 二、交错级数及其审敛法 定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. ( 1) ( 1) 1 1 1 n n n n n n  u  u  =  = − − 或 − (  0) 其中un 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件: (ⅰ) ( 1,2,3, ) un  un+1 n =  ; (ⅱ) lim = 0 → n n u , 则级数收敛,且其和 u1 s  ,其余项 n r 的绝对值 n  un+1 r . 证明 0, un−1 −un  ( ) ( ) ( ) 2n u1 u2 u3 u4 u2n 1 u2n s = − + − ++ − − , 数列 s2n是单调增加的 n u u u u n u n u n s2 1 2 3 2 2 2 1 2 又 = −( − ) −−( − − − ) −  u1 , 数列 s2n是有界的 lim . 2 u1 s s n n  =  → lim 0, 2 +1 = → n n  u lim lim ( ) 2 1 2 2 +1 → + →  = n + n n n n s s u , . u1 级数收敛于和s 且s  ( ), 余项 rn =  un+1 −un+2 + , rn = un+1 −un+2 + 满足收敛的两个条件, .  n  un+1 r 定理证毕. 例 5 判别级数   = − − 2 1 ( 1) n n n n 的收敛性

(1+x) Ln, 又mmun=lmx",=0.原级数收敛 1 三、绝对收敛与条件收敛 定义:正项和负项任意出现的级数称为任意项级数 定理若∑收敛,则∑un收敛 证明令vn=(un+n)(n=12… 显然vn≥0,且vn≤∴∑v收敛, 又:∑tn=∑2n-|n,∴∑un收敛 上定理的作用:任意项级数→正项级数 定义:若∑l收敛,则称∑n为绝对收敛 若∑1发散而∑un收敛,则称∑un为条件收敛 例6判别级数 的收敛性 解m2而∑ 收敛 ∑門收敛 故由定理知原级数绝对收敛

7 解 2 2 ( 1) (1 ) ) 1 ( − − +  = − x x x x x   0 (x  2) , 1 故函数 单调递减 x − x , un  un+1 1 lim lim − = → → n n u n n n 又 = 0. 原级数收敛. 三、绝对收敛与条件收敛 定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数. 定理 若   n=1 un 收敛,则   n=1 n u 收敛. 证明 ( ) ( 1,2, ), 2 1 令 vn = un + un n =   0, n 显然v , n un 且v  , 1  收敛  =  n n v (2 ), 1 1    =  = = − n n n n 又 un v u   =  n 1 un 收敛. 上定理的作用：任意项级数  正项级数 定义:若   n→0 un 收敛, 则称   n=1 n u 为绝对收敛; 若   n=1 un 发散,而   n=1 n u 收敛, 则称   n=1 n u 为条件收敛. 例 6 判别级数   =1 2 sin n n n 的收敛性. 解 , sin 1 2 2 n n n   , 1 1 而  2 收敛  n= n , sin 1  2  =  n n n 收敛 故由定理知原级数绝对收敛

四、小结 正项级数任意项级数 1.若s→s,则级数收敛 2当n→>∞o,un不趋向于零时,则级数发散 敛|3.按基本性质 法「4充要条件 4绝对收敛 5比较法 5交错级数 6比值法 (莱布尼茨定理) 7.根值法 思考题 设正项级数∑L收敛,能否推得∑u2收敛?反之是否成立? 思考题解答 由正项级数∑un收敛,可以推得∑U2收敛 m =lim u =0 由比较审敛法知∑un2收敛 反之不成立 例如∑收效∑发散

8 四、小结 正项级数 任意项级数 审 敛 法 1..若 s s n → ，则级数收敛 2.当 n un → , 不趋向于零时，则级数发散 3.按基本性质; 4.充要条件 5.比较法 6.比值法 7.根值法 4.绝对收敛 5.交错级数 (莱布尼茨定理) 思考题 设正项级数   n=1 n u 收敛, 能否推得   =1 2 n un 收敛?反之是否成立? 思考题解答 由正项级数   n=1 n u 收敛，可以推得   =1 2 n un 收敛, n n n u u 2 lim →  n n u → = lim = 0 由比较审敛法知   =1 2 n un 收敛. 反之不成立. 例如：   =1 2 1 n n 收敛,   =1 1 n n 发散