《高等数学》课程电子教案：第十二章（12.8）高阶线性微分方程

章节题目 第八节高阶线性微分方程 高阶线性微分方程的形式 高阶线性微分方程解的结构 内容提要 高阶线性微分方程解的结构的几个定理 非齐次线性微分方程解的结构 重点分析 函数线性相关和线性无关的判定 难点分析 题|P3(单) 布 备注

1 章 节 题 目 第八节 高阶线性微分方程 内 容 提 要 高阶线性微分方程的形式 高阶线性微分方程解的结构 重 点 分 析 高阶线性微分方程解的结构的几个定理 非齐次线性微分方程解的结构 难 点 分 析 函数线性相关和线性无关的判定 习 题 布 置 P375 3、4（单） 备 注

教学内容 概念的引入 例设有一弹簧下挂一重物如果使物体具有一个初始速度v≠0,物体便离开平衡 位置,并在平衡位置附近作上下振动试确定物体的振动规律x=x(t) 解受力分析 1.恢复力∫=-cx, 2.阻力 dx d dx F=ma +k2x=0物体自由振动的微分方程 若受到铅直干扰力F=Hsnp, d2x dx +2n+k2x=hsnp强迫振动的方程 d+eou=2 m sin at串联电路的振荡方程 +2B +P(x)20+Q(x)y=(x)二阶线性微分方程 x 当f(x)=0时,二阶线性齐次微分方程 当∫(x)≠O时,二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 y(n+R(x)y(-+.+P-(x)y+P(x)y=f(x)

2 教 学 内 容 一、概念的引入 例:设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初始速度 v0  0 ,物体便离开平衡 位置,并在平衡位置附近作上下振动.试确定物体的振动规律 x = x(t) . 解 受力分析 1.恢复力 f = −cx; 2. ; dt dx 阻力 R = − F = ma, , 2 2 dt dx cx dt d x m = − −  2 0 2 2 2 + + k x = dt dx n dt d x 物体自由振动的微分方程 若受到铅直干扰力F = H sin pt, k x h pt dt dx n dt d x 2 sin 2 2 2 + + = 强迫振动的方程 t LC E u dt du dt d u Lc m c c c 2  sin  2 2 0 2 + + = 串联电路的振荡方程 ( ) ( ) ( ) 2 2 Q x y f x dx dy P x dx d y + + = 二阶线性微分方程 当 f (x) = 0时， 二阶线性齐次微分方程 当 f (x)  0时， 二阶线性非齐次微分方程 n 阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ( 1) 1 ( ) y P x y P x y P x y f x n n n n + + + −  + = −  x x o

线性微分方程的解的结构 二阶齐次方程解的结构 y+P(x)y+o(xy=0 定理1如果函数y(x)与y2(x)是方程(1)的两个解那末y=C+C2y2也是(1) 的解.(C1,C2是常数) 问题y=C+C2y2一定是通解吗? 定义:设y,y2…,yn为定义在区间I内的n个函数.如果存在n个不全为零的常 数,使得当x在该区间内有恒等式成立 ky1+k2y2+…+knyn=0, 那么称这n个函数在区间内线性相关.否则称线性无关 例如当x∈(,+∞时,e,e,e2线性无关 l,cos2x,sin2x线性相关 特别地:若在1上有丛(x)≠常数, 则函数y(x)与y2(x)在I上线性无关 定理2:如果y(x)与y2(x)是方程(1)的两个线性无关的特解,那么 y=C1y+C2y2就是方程(1)的通解 例如y"+y=0,y=cosx,y2=snx 且=nx≠常数,y=C;cosx+C2snx 2二阶非齐次线性方程的解的结构: 定理3设y是二阶非齐次线性方程y"+P(x)y+Q(x)y=f(x) 的一个特解,y是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,那么y=Y+y是二阶非齐次 线性微分方程(2)的通解 定理4设非齐次方程(2)的右端f(x)是几个函数之和,如 y+P()y+o(x)y=f(x)+f(x)

3 二、线性微分方程的解的结构 1.二阶齐次方程解的结构: y  + P(x) y  + Q(x) y = 0 (1) 定理 1 如果函数 ( ) 1 y x 与 ( ) 2 y x 是方程(1)的两个解,那末 1 1 2 2 y =C y +C y 也是(1) 的解.（ 1 2 C , C 是常数） 问题: y =C1 y1 +C2 y2一定是通解吗？ 定义：设 n y , y , , y 1 2  为定义在区间 I 内的 n 个函数．如果存在 n 个不全为零的常 数，使得当 x 在该区间内有恒等式成立 k1 y1 + k2 y2 ++ kn yn = 0， 那么称这 n 个函数在区间 I 内线性相关．否则称线性无关 例如 当x(−, +)时， x x x e e e 2 , ，− 线性无关 x x 2 2 1，cos , sin 线性相关 特别地: 若在 I 上有  常数， ( ) ( ) 2 1 y x y x 则函数 ( ) 1 y x 与 ( ) 2 y x 在 I 上线性无关. 定 理 2 ： 如 果 ( ) 1 y x 与 ( ) 2 y x 是方程 (1) 的 两 个 线 性 无 关 的 特 解 , 那 么 1 1 2 2 y =C y +C y 就是方程(1)的通解. 例如 y  + y = 0, cos , sin , 1 2 y = x y = x tan , 1 且 2 = x  常数 y y cos sin . 1 2 y =C x +C x 2.二阶非齐次线性方程的解的结构: 定理 3 设 * y 是二阶非齐次线性方程 y  + P(x) y  + Q(x) y = f (x) (2) 的一个特解, Y 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么 * y = Y + y 是二阶非齐次 线性微分方程(2)的通解. 定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x) 是几个函数之和, 如 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 y + P x y +Q x y = f x + f x

而y与y2分别是方程, y+P(x)y+o(x)y=f(x) y+P(x)y+o(x)y=f(x) 的特解,那么y1+y2就是原方程的特解 、小结 主要内容 线性方程解的结构 线性相关与线性无关 补充内容y"+P(x)y+Q(x)y=0可观察出一个特解 (1)若P(x)+xx)=0,特解y=x, (2)若1+P(x)+Q(x)=0,特解y=e (3)若1-P(x)+Q(x)=0,特解y=ex

4 而 * 1 y 与 * 2 y 分别是方程, ( ) ( ) ( ) 1 y + P x y +Q x y = f x ( ) ( ) ( ) 2 y + P x y +Q x y = f x 的特解, 那么 * 2 * 1 y + y 就是原方程的特解. 三、小结 主要内容 线性方程解的结构； 线性相关与线性无关； 补充内容 y  + P(x) y  + Q(x) y = 0 可观察出一个特解 (1) 若P(x) + xQ(x) = 0, 特解 y = x; (2)若1+ P(x)+Q(x) = 0, ; x 特解 y = e (3)若1− P(x)+Q(x) = 0, . x y e − 特解 =