《高等数学》课程电子教案：第十二章（12.12）微分方程的幂级数解法

章节题目 第十二节微分方程的幂级数解法 女=f(xy)特解求法 内|二阶齐次线性方程幂级数求法 容提要 利用幂级数求解微分方程 重点分析 难点分析 1(5) 题布置 备注

1 章 节 题 目 第十二节 微分方程的幂级数解法 内 容 提 要 f (x, y) dx dy = 特解求法 二阶齐次线性方程幂级数求法 重 点 分 析 利用幂级数求解微分方程 难 点 分 析 习 题 布 置 P401 1（5） 备 注

教学内容 问题的提出 例如d=x2+y,解不能用初等函数或其积分式表达 寻求近似解法:幂级数解法;卡比逐次逼近法;数值解法 dy =f(x,y)特解求法 d 问题求4=xy)满足ym=的特解 其中f(x,y)=am+a0(x-x0)+a0(y-y)+…+an(x-x0)(y-y)m 假设所求特解可展开为x-x的幂级数 y=y0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+…其中a1,a2…,an2…为待定的系数 例1求=x+y2满足y1=0的特解 解:∵x=0,y=0,设y=a1x+a2x2+a3 y=a,+2a2x+3a3x"+.+na,x"+ 将y,y的幂级数展开式带入原方程 a1+2a2x+3a3x2+4a4x+…=x+(a1x+a2x2+a3x+a4x+…) =x+a1x2+2a4a2x+(a2+2a1a3)x+ 比较恒等式两端x的同次幂的系数,得 a1=0,a2=,a3=0,a4=0,a5 所求解为y=x2+0x3+ 小结无初始条件求解可设y=C+∑anx"(C是任意常数) 三、二阶齐次线性方程幂级数求法 定理:如果方程y+P(x)y+Q(x)y=0中的系数P(x)与Q(x)可在一R<x<R 内展为x的幂级数那么在-R<x<R内原方程必有形如y=∑ax”的解 作法:设解为y=∑ax,将P(x)Q(x),f(x)展开为x-x的幂级数,比较

2 教 学 内 容 一、问题的提出 , 2 2 x y dx dy 例如 = + 解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法; 卡比逐次逼近法; 数值解法. 二、 f (x, y) dx dy = 特解求法 问题 ( , ) . 求 f x y 满足 y 0 y0 的特解 dx dy = x=x = ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 l m l m 其中 f x y = a + a x − x + a y − y ++ a x − x y − y , 假设所求特解可展开为x − x0的幂级数 y = y0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 ) 2 + , , , , . 其中a1 a2  an 为待定的系数 例 1 | 0 . 0 求 = x + y 2 满足y x= = 的特解 dx dy 解：x0 = 0， 0, y0 = , 3 3 2 设 y = a1 x + a2 x + a x ++ an x n + 2 3 , 2 1 3 1 y  = a1 + a2 x + a x ++ nan x n− + 将 y, y 的幂级数展开式带入原方程 a1 + 2a2 x + 3a3 x 2 + 4a4 x 3 + 4 2 4 3 3 2 1 2 = x + (a x + a x + a x + a x +) = x + a1 2 x 2 + 2a1a2 x 3 + (a2 2 + 2a1a3 )x 4 + 比较恒等式两端 x 的同次幂的系数, 得 , , 20 1 , 0, 0, 2 1 0, a1 = a2 = a3 = a4 = a5 =  . 20 1 2 所求解为 y = 1 x 2 + x 5 + 小结: 无初始条件求解   = = + n 1 n n 可设 y C a x (C 是任意常数) 三、二阶齐次线性方程幂级数求法 定理：如果方程 y  + P(x) y  + Q(x) y = 0 中的系数 P(x) 与 Q(x) 可在− R  x  R 内展为 x 的幂级数,那么在 − R  x  R 内原方程必有形如 n n n y a x  = = 0 的解. 作法： , 0   = = n n n 设解为 y a x 将 P(x),Q(x), f (x) 展开为x − x0 的幂级数， 比较

恒等式两端x的同次幂的系数,确定y 例2求方程y”-x3-y=0的解 解:设方程的解为y=∑a1x,则y=∑mnx2, ∑m(n-1a (n+2)n+1)a 将y,y,y”带入y (n+2n+1)an+2x”-x∑mnrx1-∑anx"=0 [(n+2)n+1)an2-(n+1)anpx”=0 ki 2k .,k=12,3… 原方程的通解y=a22"nlm=(2n+D (an,a是任意常数 四、小结 微分方程解题思路 作变换 分离变量法 一阶方程 全微分方穆积分因子 变 常数变易法 高阶方程 特征方程法 幂级数解法 待定系数 当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时,常用幂级数解法

3 恒等式两端 x 的同次幂的系数, 确定 y. 例 2 求方程 y − xy − y = 0的解. 解： , 0 n n n y a x  = 设方程的解为 = , 1 0 −  =  =  n n n 则 y na x 2 1 ( 1) −  =  =  − n n n y n n a x ( 2)( 1) , 0 2 n n n  n n a x  = = + + + 将 y, y  , y 带入 y − xy − y = 0, n n n  n n a x  = + + + 0 2 ( 2)( 1) 1 0 −  = −  n n n x na x 0, 0 − =  = n n n a x [( 2)( 1) ( 1) ] 0, 0  + + 2 − +   = + n n n n n n a n a x , 2 2 + + = n a a n n n = 0,1,2,  , 2 0 2 a a = , 8 0 4 a a = ……….. , ! 2 0 2k k k a a = , 3 1 3 a a = , 15 1 5 a a = ………..， , (2 1)!! 1 2 1 + + = k a a k k =1,2,3,  原方程的通解    =  + = + = + 0 2 1 1 0 2 0 2 ! (2 1)!! n n n n n n x a n x y a ( , ) a0 a1是任意常数 四、小结 微分方程解题思路 当微分方程的解不能用初等函数或其积分表达时, 常用幂级数解法. 一阶方程 高阶方程 分离变量法 全微分方程 常数变易法 特征方程法 待定系数法 非 全 微 分 方 程 非 变 量 可 分 离 幂级数解法 降 阶 作 变 换 作变换 积分因子