《高等数学》课程电子教案：第十一章（11.8）周期为2L的周期函数的傅里叶级数

章 题第九节周期为2L的周期函数的傅里叶级数 目 以2L为周期的傅氏级数 将函数展开为以2L为周期的傅氏级数 内容提要 收敛定理 系数的计算公式 重点分析 对收敛定理的理解 难点分析 313 题布置 备注

1 章 节 题 目 第九节 周期为 2L 的周期函数的傅里叶级数 内 容 提 要 以 2L 为周期的傅氏级数 将函数展开为以 2L 为周期的傅氏级数 重 点 分 析 收敛定理 系数的计算公式 难 点 分 析 对收敛定理的理解 习 题 布 置 P313 2 备 注

教学内容 以2L为周期的傅氏级数 7=2,∴:D=2x=代入傅氏级数中 nsl a cos nor in niox 定理设周期为2的周期函数∫(x)满足收敛 定理的条件,则它的傅里叶级数展开式为 f(x)=a+∑anos"+sin"n 其中系数anb为 a=2(x)o.x,(n=012… bn=元,f(x)smn ,(n=1,2,…) (0如果/(x)为奇函数则有f(x)=∑bsin", 其中系数b为b f(x)sin dx (n (2)如果(x)为偶函数则有f(x)22+∑ancs1 其中系数a为an=(xont(m=012,) 证明令 1<x<l→-x<z≤丌 设()=()=F(2.F()以2为周期 F(=)=+2(a, cosn:+b, sin n=), 其中an=-「F() cos nza, F(z)s F(=)=f(x) 2

2 教 学 内 容 一、以 2L 为周期的傅氏级数 T = 2l, . 2 T l    = = 代入傅氏级数中 ( cos sin ) 2 1 0 a n x b n x a n n  n    = + + 定理的条件 则它的傅里叶级数展开 式为 定理 设周期为 的周期函数 满足收敛 , 2l f (x) ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n     = = + + 其中系数 an , bn为 ( ) cos , ( 0,1,2, ) 1 =  =  − dx n l n x f x l a l l n  ( )sin , ( 1,2, ) 1 =  =  − dx n l n x f x l b l l n  (1)如果f (x)为奇函数, 则有 ( ) sin , 1   = = n n l n x f x b  ( )sin , 2 0 dx l n x f x l b b l n n  =  其中系数 为 (n =1,2, ) (2)如果f (x)为偶函数, 则有 cos , 2 ( ) 1 0   = = + n n l n x a a f x  dx l n x f x l a a l n n  = 0 ( ) cos 2  其中系数 为 (n = 0,1,2, ) 证明 , l x z  令 = −l  x  l  −  z , ( ) ( ) F(z), lz f x = f =  设 F(z)以2为周期. ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 a nz b nz a F z n n = + n +  = ( )sin . 1 ( ) cos , 1   − − = =       b F z nzdz a F z nzdz n 其中 n F(z) f (x) l x z = =  

∑( a,cos"nx+bsm"x) 其中an=|,f( x)cos f(xsin - xdx 典型例题 例1设f(x)是周期为4的周期函数,它在[-2,2)上的表达式为 0-2≤x<0 f(x)= 将其展成傅氏级数 k0≤x<2 解∵l=2,满足狄氏充分条件 Odx+- kdx =k k:cos-xdx=0,(n=1,2,…) bn (1-cosn丌 2K 当n=1.3.5 =n丌 0当n=2,4.6 r1.3 57x ∫(x)=-+-(s +-sin (-∞<x<+∞,x≠0,±2±4,…) 例2将函数f(x)=10-x(5<x<10)展开成傅氏级数 解作变量代换z=x-10,5<x<10→-5<x<5, f(x)=f(二+10)=-2=F(=)

3 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 x l n x b l n a a f x n n n   = + +  = ( )sin . 1 ( ) cos , 1   − − = = l l n l l n xdx l n f x l b xdx l n f x l a   其中 二、典型例题 例 1 设 f (x) 是 周 期 为 4 的 周 期 函 数 , 它 在 [−2,2) 上 的 表 达 式 为      −   = 0 2 0 2 0 ( ) k x x f x , 将其展成傅氏级数. 解 l = 2,满足狄氏充分条件.   = + − 2 0 0 2 0 2 1 0 2 1 a dx kdx = k, an =   2 0 2 cos 2 1 xdx n k  = 0, (n =1,2, )  =  2 0 2 sin 2 1 xdx n b k n  (1 cos  )  n n k = − , 0 2,4,6, 1,3,5, 2      = = =   n n n k 当 当  ) 2 5 sin 5 1 2 3 sin 3 1 2 (sin 2 2  ( ) = + + + + k k x x x f x     (−  x  +; x  0,2,4, ) 例 2 将函数 f (x) =10− x (5  x 10) 展开成傅氏级数. 解 作变量代换 z = x −10, 5  x 10  −5  z  5, f (x) = f (z +10) = −z = F(z), k − 2 x y − 4 0 2 4

补充函数F()=-(-5Gsi nE ,(-5<<5) 0(-1) -sin[ 5(x-10=o asin nT.(5<x<15 另解 (0-x)cos nm dx=2 cos X cOS 5 ao==l(10-x)dx =0, b SJ(10-x)sin nZ (n=1,2,…) 故f(x) 10(-1)”nx 三、小结 以2L为周期的傅氏系数; 利用变量代换求傅氏展开式 求傅氏展开式的步骤 1画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域奇偶性) 2求出傅氏系数 3写出傅氏级数并注明它在何处收敛于

4 补充函数 F(z) = −z (−5  z  5)的定义, 令 F(−5) = 5, 然后将F(z)作周期延拓(T =10) 这拓广的周期函数满足收敛定理的条件, 且展开式在(−5, 5)内收敛于F(z). a = 0, (n = 0,1,2, ) n  = − 5 0 2 ( )sin 5 2 dz n z b z n  , 10 ( 1) n n = − (n =1,2, ) , 5 sin 10 ( 1) ( ) 1   = − = n n n z n F z   (−5  z  5)   = − −  − = 1 ( 10)] 5 sin[ 10 ( 1) 10 n n x n n x   . 5 sin 10 ( 1) 1   = − = n n x n n   (5  x 15) 另解  = − 15 5 5 (10 ) cos 5 1 dx n x a x n    = − 15 5 15 5 5 cos 5 1 5 2 cos dx n x dx x nx  = 0, (n =1,2, )  = − 15 5 0 (10 ) 5 1 a x dx = 0,  = − 15 5 5 (10 )sin 5 1 dx n x b x n  , 10 ( 1) n n = − (n =1,2, )   = − = − = 1 5 sin 10 ( 1) ( ) 10 n n x n n f x x   故 (5  x 15) 三、小结 以 2L 为周期的傅氏系数; 利用变量代换求傅氏展开式; 求傅氏展开式的步骤; 1.画图形验证是否满足狄氏条件(收敛域,奇偶性); 2.求出傅氏系数; 3.写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于 x y F(z) −5 0 5 10 15